1 . 已知事件和事件互斥，若且，则_____________.

2 . 10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为______.

3 . 甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______．

4 . 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________.

5 . 设计一个随机试验，使一个事件的概率与某个未知数有关，然后通过重复试验，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解，这种随机试验在数学上称为随机模拟法，也称为蒙特卡洛法．比如要计算一个正方形内部不规则图形的面积，就可以利用撒豆子，计算出落在不规则图形内部和正方形内部的豆子数比近似等于不规则图形面积与正方形面积比，从而近似求出不规则图形的面积．
统计学上还有一个非常著名的蒲丰投针试验：平面上间隔的平行线，向平行线间的平面上任意投掷一枚长为的针，通过多次试验可以近似求出针与任一平行线（以为例）相交（当针的中点在平行线外不算相交）的概率．以表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示与所成夹角，如图甲，易知满足条件：，．

由这两式可以确定平面上的一个矩形，如图乙，在图甲中，当满足___________（与，之间的关系）时，针与平行线相交（记为事件）．可用从试验中获得的频率去近似，即投针次，其中相交的次数为，则，历史上有一个数学家亲自做了这试验，他投掷的次数是5000，相交的次数为2550次，，，依据这个试验求圆周率的近似值_________．（精确到3位小数）

6 . 在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________．