2 . 北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：

行政区	东城区	西城区	朝阳区	丰台区	石景山区	海淀区	门头沟区	房山区
城镇人口（万人）	70.4	110	343.3	199.9	56.3	305.4	36.2	102.6
乡村人口（万人）	0	0	0.9	1.3	0	7	3.4	28.5
行政区	通州区	顺义区	昌平区	大兴区	怀柔区	平谷区	密云区	延庆区
城镇人口（万人）	137.3	87.8	185.9	161.6	32.8	27.9	34.9	20.5
乡村人口（万人）	47	44.7	40.8	37.5	11.1	17.7	17.7.	13.9

(1)在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
(2)若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；
(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）

3 . 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

       

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.（结论不要求证明）

4 . 为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.

序号	评委甲评分	评委乙评分	初评得分
1	67	82	74.5
2	80	86	83
3	61	76	68.5
4	78	84	81
5	70	85	77.5
6	81	83	82
7	84	86	85
8	68	74	71
9	66	77	71.5
10	64	82	73

(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；
(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；
(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）

5 . 已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为.
(1)试证明：；
(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.

6 . 某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有两个指标．从两条产品线上各随机抽取一些产品，指标数据如下表：

甲生产线 产品序号	1		2		3		4		5		6		7		8		9	10
指标	0.98		0.96		1.07		1.02		1.00		0.93		0.92		0.96		1.11	1.02
指标	2.01		1.97		1.96		2.03		2.03		1.98		1.95		1.99		2.07	2.02
乙生产线 产品序号		1		2		3		4		5		6		7		8
指标		1.02		0.97		0.95		0.94		1.13		0.98		0.97		1.01
指标		2.01		2.03		2.15		1.93		2.01		2.02		2.19		2.04

假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其指标大于1且指标大于2的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
(3)已知产品指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好的概率估计值最大？（结论不要求证明）

8 . 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．

年份
产量万台
销量万台

记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明

9 . 为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.

(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.

10 . 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：

	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
A 地区 （单位：万辆）	29.4	39.7	54.3	49.4	56.2	65.4	61.1	68.2	70.2	71.9	77.1	89.2
B 地区 （单位：万辆）	7.8	8.8	8.1	8.3	9.2	10.0	9.7	9.9	10.4	9.4	8.9	10.1
月销量比	3.8	4.5	6.7	6.0	6.1	6.5	6.3	6.9	6.8	7.6	8.7	8.8

月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.

(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小.（结论不要求证明）