1 . 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表：

性别	身高		合计
	低于170cm	高于170cm
女	14	7	21
男	8	11	19
合计	22	18	40

(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？
附：，n=a+b+c+d

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(2)考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于的成对分类变量，已知和，和都是互为对立事件．令为零假设或原假设．证明：若零假设成立，则和独立．

3 . 某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：

（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据 处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？

	健身达人	非健身达人	总计
男	10
女		30
总计

（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为，记为锐角的内角，
求证：
附：

4 . 某公司研发了两种具有自主知识产权的操作系统，分别命名为“天下”、“东方”.这两套操作系统均适用于手机、电脑、车联网、物联网等，且较国际同类操作系统更加流畅.
（1）为了解喜欢“天下”系统是否与性别有关，随机调查了名男用户和名女用户，每位用户对“天下”系统给出喜欢或不喜欢的评价，得到下面列联表：

请问：能否有的把握认为男、女用户对“天下”系统的喜欢有差异？
附：.

（2）该公司选定万名用户对“天下”和“东方”操作系统（以下简称“天下”、“东方”）进行测试，每个用户只能从“天下”或“东方”中选择一个使用，每经过一个月后就给用户一次重新选择“天下”或“东方”的机会.这个月选择“天下”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，；这个月选择“东方”的用户在下个月选择“天下”的概率均为，选择“东方”的概率均为，.记表示第个月用户选择“天下”的概率，已知，，，，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：数列（）为等比数列；
（ⅲ）预测选择“天下”操作系统的用户数量不超过多少万人.（精确到1万）