解题方法
1 . 某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是
，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是
，开黄色花的概率是
；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为
，开黄色花的概率为
．设第n代开粉红色花的概率为
．
(1)求第2代开黄色花的概率；
(2)证明：
．
，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为．设第n代开粉红色花的概率为．(1)求第2代开黄色花的概率；
(2)证明：
．
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2 . 甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．
(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2分，记
（
）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则
①求证
（
）为等比数列
②求
的值．
(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2分，记
（）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则①求证
（）为等比数列②求
的值．
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2023高三·全国·专题练习
3 . 某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为
，每步上两个台阶的概率为
，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中
，且
. 证明：数列
是等比数列.
，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列.
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4 . 一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响．设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差．
(1)记“
”为事件A，求
的值．
(2)记“函数
，在区间
上单调递增”为事件B，求
的值．
（函数的单调性只需判断，不要求证明）
(1)记“
”为事件A，求的值．(2)记“函数
，在区间上单调递增”为事件B，求的值．（函数的单调性只需判断，不要求证明）
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名校
解题方法
5 . 在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件
“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件
“与地面接触的面上的数字不大于4”
(1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；
(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件
只发生1次的概率．
“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4” (1)判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；
(2)连续抛掷3次这个正八面体，求事件
只发生1次的概率．
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名校
解题方法
6 . 已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方､现甲､乙二人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲､乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完善的2×2列联表：
(1)完成
列联表，并判断是否有
的把握认为“比赛得分与接､发球有关”？
(2)以列联表中甲､乙各自接､发球的得分频率分别作为每一回合中甲､乙各自接､发球的得分概率.
①若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为
，证明：
是等比数列；
②已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，则
.若第1回合是甲先发球，求甲､乙连续进行300回合比赛后，甲的总得分期望.（结果保留2位小数）
参考公式：
，其中
，
.
| 甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
| 甲发球 | 90 | ||
| 乙发球 | 120 | ||
| 总计 | 120 | 300 |
列联表，并判断是否有的把握认为“比赛得分与接､发球有关”？(2)以
列联表中甲､乙各自接､发球的得分频率分别作为每一回合中甲､乙各自接､发球的得分概率.①若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；②已知：若随机变量
服从两点分布，且，，则.若第1回合是甲先发球，求甲､乙连续进行300回合比赛后，甲的总得分期望.（结果保留2位小数）参考公式：
，其中，.
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7 . 甲、乙两人参加一场比赛，比赛采用五局三胜制（比赛最多进行五局，每局比赛都分出胜负，先胜三局者获胜，比赛结束）．由于心理因素，甲每局比赛获胜的概率会受到前一局比赛结果的影响：如果前一局比赛甲获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为
；如果前一局比赛乙获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为
．已知第一局比赛甲获胜的概率为，事件
表示“第局比赛甲获胜”.
(1)求第二局比赛甲获胜的概率；
(2)证明：当
时，
，并类比上述公式写出
的公式（不需要证明）；
(3)求比赛结束时甲获胜两局的概率.
；如果前一局比赛乙获胜，则下一局比赛甲获胜的概率为．已知第一局比赛甲获胜的概率为，事件表示“第局比赛甲获胜”.(1)求第二局比赛甲获胜的概率；
(2)证明：当
时，，并类比上述公式写出的公式（不需要证明）；(3)求比赛结束时甲获胜两局的概率.
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2023高三·全国·专题练习
8 . 为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为
. 证明：
为等比数列.
，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为. 证明：为等比数列.
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名校
解题方法
9 . 某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为
.
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)证明：
；
(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：
.(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)证明：
；(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.
参考数据：
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名校
解题方法
10 . （1）若
和
是两个互斥事件，求证：
；
（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
，其中
为显性基因，
为隐性基因，且这三种基因型的比为
，如果在子二代中任意选取
株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为
的概率.
和是两个互斥事件，求证：；（2）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为
，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为的概率.
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