1 . 在某象棋比赛中，若选手甲和选手乙进入了最终的象棋决赛，经赛前数据统计发现在每局象棋比赛中甲和乙获胜的概率分别为和，且决赛赛制为局胜制，求：
(1)前局中乙恰有局获胜的概率；
(2)比赛结束时两位选手共进行了局比赛的概率．

2 . 2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为.
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.

3 . 已知A，B，C三人同时参加对同一个问题竞答；游戏的规则为三人同答一道题，若其中至少一人答对此题，则视为闯过此关.已知此三人答对此题的概率分别为，，.
(1)求此三人闯过此关的概率；
(2)若此三人闯此关时，答对试题的人数为，求的分布列和数学期望.

4 . 在一次知识竞赛中，假设A、B、C、D四人独立答题，且答对的概率分别为，，，，如果将A、B、C组成一组与D比赛，且A、B、C三人中有一人答对即算该组答对，那么哪一方答对的概率大？

5 . 王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游，不是一个人的王者，而是团队的荣耀！5v5王者峡谷PVP对战，领略英雄竞技的酣畅淋漓！在游戏中，打野玩家可以选择红开或蓝开，不依赖蓝条的英雄可以优先选择红开．在一把人机对决游戏中，坤坤选出了他的成名英雄典韦，看到敌方阵容前期较弱后，决定入侵敌方的蓝buff．已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开，若敌方打野选择蓝开，典韦入侵野区成功的概率为，若敌方选择红开，典韦入侵野区成功的概率为，回答下列问题
(1)坤坤连续进行了三场对局，且每场对局敌我阵容完全相同，求坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率
(2)在某场单挑对决中，敌方选取老夫子并准备向坤坤的典韦发起进攻．已知典韦与老夫子的距离为，老夫子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动，为了避免被控制，坤坤迅速释放一技能位移（位移方向与老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韦一技能位移可看作为加速度为，初速度的匀加速直线运动，老夫子的大招位移可看作速度为的匀速直线运动，且最大位移距离为8，若要求典韦能够躲开老夫子大招的控制，求典韦的加速度的最小值.
(参考公式：
①匀加速直线运动，位移与初速度，加速度和时间的关系：；
②匀速直线运动，末速度与初速度，时间和加速度的关系为：

6 . 一个盒子中有编号为1，2，3，且质地均匀的三枚硬币，第一次取出1号硬币，掷出后记录其得到的是正面或反面.从第二次开始的游戏规则是：①从盒子中剩下的硬币中随机取出一枚，并将上一次取出的硬币放回盒子中；②投掷取出的硬币，记录得到的是正面或反面.
(1)求第三次取出的硬币是1号硬币的概率；
(2)求第三次取出的硬币是2号硬币的概率；
(3)求第五次取出的硬币是1号硬币并投掷得到正面的概率.

7 . 某口罩生产厂生产一个口罩需经过，，三道相互独立的工序，每道工序的生产质量分为优和良两个层级.当三道工序的生产质量都为优时，口罩的过滤等级为一等；当工序的生产质量为优，且，工序的生产质量至多有一个为优时，口罩的过滤等级为二等；其余情况下口罩的过滤等级均为三等.据抽样检测和统计分析，一个口罩在，，三道工序中的生产质量为优层级的概率分别为0.5，0.75，0.8.生产一个口罩的利润与过滤等级有关，其中一等2元/个，二等1元/个，三等0.5元/个.
(1)求该厂生产的口罩过滤等级为一等所占的概率为多少；
(2)从该厂生产的口罩中任取3个，求过滤等级有2个二等和1个三等的概率；
(3)为了提高工序的生产质量为优层级的概率，该厂拟对工序的生产环节进行升级改造.升改后每个口罩的生产成本增加0.2元（销售价格不变），工序的生产质量为优层级的概率达到0.9.试从一个口罩利润的期望值考虑，该厂是否应该实施升级改造？

8 . 三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率．

9 . 在某公司组织的团建活动中，，，三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在手中时，传给的概率为，传给自己的概率也为；当排球在手中时，传给的概率为，传给的概率为；当排球在手中时，传给，的概率均为.游戏开始时，排球在手中，经过次传球后，设排球在手中的概率为，排球在手中的概率为.
(1)求，的值；
(2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由.

10 . “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值.