名校
解题方法
1 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为
，古堡乙闯关成功的概率为
.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为
，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为
；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为
.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为
，第局闯关成功的概率为
.
（i）求和的表达式；
（ii）当
时，求证：
.
，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.（i）求
和的表达式；（ii）当
时，求证：.
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名校
2 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为
一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，最终欠债 A元（可以记为该赌徒手中有 
元）概率为 
，请回答下列问题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
时，
的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
时，，请回答下列问题：(1)请直接写出
与的数值．(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．(3)当
时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
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23-24高三下·江苏镇江·开学考试
3 . 已知在伯努利试验中，事件
发生的概率为
，我们称将试验进行至事件发生
次为止，试验进行的次数
服从负二项分布，记作
，则下列说法正确的是（ ）
发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 ， |
B．若，则 ， |
C．若， ，则 |
D．若，则当 取不小于 的最小正整数时， 最大 |
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2023·上海嘉定·一模
解题方法
4 . 某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.
(1)小红一共参与回答了3题，且该
题分为为、
和
这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列；(2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大.
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