1 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图,每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子,下方有从左至右依次编号为的格子(此时钉子层数为).当小球从板口下落时,它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下,继续碰至下一层钓子,依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.(1)直接写出时的分布列;
(2)证明:;
(3)改变格子个数(钉子层数相应改变),进行次实验,第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球,记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性,设每次实验、每次投球相互独立,求关于的表达式.
(2)证明:;
(3)改变格子个数(钉子层数相应改变),进行次实验,第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球,记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性,设每次实验、每次投球相互独立,求关于的表达式.
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解题方法
2 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型,在生活中被广泛应用.现在我们来研究二项分布的简单性质,若随机变量.
(1)证明:(ⅰ)(,且),其中为组合数;
(ⅱ)随机变量的数学期望;
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出一个球且不放回,直到摸到黑球为止,记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球,若将上述试验重复进行10次,记随机变量表示事件A发生的次数,试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系.
(1)证明:(ⅰ)(,且),其中为组合数;
(ⅱ)随机变量的数学期望;
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出一个球且不放回,直到摸到黑球为止,记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球,若将上述试验重复进行10次,记随机变量表示事件A发生的次数,试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系.
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名校
3 . 设的所有可能取值为,称()为二维离散随机变量的联合分布列,用表格表示为:
仿照条件概率的定义,有如下离散随机变量的条件分布列:定义,对于固定的,若,则称为给定条件下的条件分布列.
离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下:.
(1)设二维离散随机变量的联合分布列为
求给定条件下的条件分布列;
(2)设为二维离散随机变量,且存在,证明:;
(3)某人被困在有三个门的迷宫里,第一个门通向离开迷宫的道,沿此道走30分钟可走出迷宫;第二个门通一条迷道,沿此迷道走50分钟又回到原处;第三个门通一条迷道,沿此迷道走70分钟也回到原处.假定此人总是等可能地在三个门中选择一个,试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.
Y X | … | … | |||||
… | … | ||||||
… | … | ||||||
… | … | … | … | … | … | … | … |
… | … | ||||||
… | … | … | … | … | … | … | … |
… | … | ||||||
… | … | 1 |
离散随机变量的条件分布的数学期望(若存在)定义如下:.
(1)设二维离散随机变量的联合分布列为
Y X | 1 | 2 | 3 | |
1 | 0.1 | 0.3 | 0.2 | 0.6 |
2 | 0.05 | 0.2 | 0.15 | 0.4 |
0.15 | 0.5 | 0.35 | 1 |
(2)设为二维离散随机变量,且存在,证明:;
(3)某人被困在有三个门的迷宫里,第一个门通向离开迷宫的道,沿此道走30分钟可走出迷宫;第二个门通一条迷道,沿此迷道走50分钟又回到原处;第三个门通一条迷道,沿此迷道走70分钟也回到原处.假定此人总是等可能地在三个门中选择一个,试求他平均要用多少时间才能走出迷宫.
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2024-03-29更新
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749次组卷
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4卷引用:湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024届高三下学期5月期中数学试题
解题方法
4 . 甲同学现参加一项答题活动,其每轮答题答对的概率均为,且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分,答错得0分,记第轮答题后甲同学的总得分为,其中.
(1)求;
(2)若乙同学也参加该答题活动,其每轮答题答对的概率均为,并选择另一种答题方式答题:从第1轮答题开始,若本轮答对,则得20分,并继续答题;若本轮答错,则得0分,并终止答题,记乙同学的总得分为.证明:当时,.
(1)求;
(2)若乙同学也参加该答题活动,其每轮答题答对的概率均为,并选择另一种答题方式答题:从第1轮答题开始,若本轮答对,则得20分,并继续答题;若本轮答错,则得0分,并终止答题,记乙同学的总得分为.证明:当时,.
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2023-09-30更新
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330次组卷
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3卷引用:湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三上学期期中数学试题