解题方法
1 . 2021年,中国新能源汽车销售火爆,A省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况,得到一组样本数据(,)(i=1,2,…,10),其中表示第i个月,表示第i个月A省新能源汽车的销量(单位:万辆),由样本数据的散点图可知,y与x具有线性相关关系,并将这10个月的数据作了初步处理,得到下面一些统计量的值:
(1)建立y关于x的线性回归方程,并估计A省12月份新能源汽车的销量;
(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查,A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动,所有费用由某新能源汽车厂商赞助.奖项共设一、二、三等奖三个奖项,其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元,抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为,,.现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求这两家汽车销售商所获奖金总额X(单位:万元)的分布列及数学期望.
附:对于一组数据(,),(,),…,(,),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
1.5 | 89.1 | 385 | 15 |
(2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查,A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动,所有费用由某新能源汽车厂商赞助.奖项共设一、二、三等奖三个奖项,其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元,抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为,,.现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求这两家汽车销售商所获奖金总额X(单位:万元)的分布列及数学期望.
附:对于一组数据(,),(,),…,(,),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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2 . 某超市为了提高利润,从2014年至2020年每年对销售、管理等环节进行改进,投资金额与年利润增长的数据如下表:
(1)请用最小二乘法求出关于的回归直线方程(结果保留两位小数);
(2)现从2014-2020年这7年中抽出三年进行调查,记年利润增长投资金额,设这三年中(万元)的年分数为,求随机变量的分布列与期望.
参考公式:,.
参考数据:,.
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
投资金额(万元) | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利润增长(万元) | 6.0 | 7.0 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
(2)现从2014-2020年这7年中抽出三年进行调查,记年利润增长投资金额,设这三年中(万元)的年分数为,求随机变量的分布列与期望.
参考公式:,.
参考数据:,.
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3 . 某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管,钢管有内外两个口径,甲种钢管内外两口径的标准长度分别为和,乙种钢管内外两个口径的标准长度分别为和.根据长期的生产结果表明,两种规格钢管每根的长度都服从正态分布,长度在之外的钢管为废品,要回炉熔化,不准流入市场,其他长度的钢管为正品.
(1)在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测,求至少有1根为废品的概率;
(2)监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为:若钢管的内外两个口径实际长分别为,标准长分别为,则“口径误差”为,按行业生产标准,其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是(正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管),现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根,分别进行“口径误差”的检测,统计后,绘制其频率分布直方图如图所示:
已知经销商经销甲种钢管,其中“一级品”的利润率为0.3,“二级品”的利润率为0.18,“合格品”的利润率为0.1;经销乙种钢管,其中“一级品”的利润率为0.25,“二级品”的利润率为0.15,“合格品”的利润率为0.08,若视频率为概率.
(ⅰ)若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货,和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润,求和的数学期望和方差,并由此分析经销商经销两种钢管的利弊;
(ⅱ)若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货,则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时,可使得所获利润的方差和最小?
附:若随机变量服从正态分布,则,,,.
(1)在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测,求至少有1根为废品的概率;
(2)监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为:若钢管的内外两个口径实际长分别为,标准长分别为,则“口径误差”为,按行业生产标准,其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是(正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管),现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根,分别进行“口径误差”的检测,统计后,绘制其频率分布直方图如图所示:
已知经销商经销甲种钢管,其中“一级品”的利润率为0.3,“二级品”的利润率为0.18,“合格品”的利润率为0.1;经销乙种钢管,其中“一级品”的利润率为0.25,“二级品”的利润率为0.15,“合格品”的利润率为0.08,若视频率为概率.
(ⅰ)若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货,和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润,求和的数学期望和方差,并由此分析经销商经销两种钢管的利弊;
(ⅱ)若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货,则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时,可使得所获利润的方差和最小?
附:若随机变量服从正态分布,则,,,.
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