1 . 某企业准备把一种新型零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格率为90％，乙工厂试生产的另一批零件的合格率为96％；若将这两批零件混合放在一起，则合格率为94％.
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求随机变量X的分布和期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知，求证：.

2 . 在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.
(1)求甲投篮次得分的概率；
(2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果.

3 . 由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图.

(1)从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人，
①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在（单位：h）的概率；（结果用数值表示）
②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为X，求X的分布和期望与方差；
(2)当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到k人为“活动爱好者”的可能性最大，试求k的值.

5 . 本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.

   

(1)若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布列及期望.
(2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.

8 . 有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）．

10 . 袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色.
(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率；
(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：
①的值；②随机变量的概率分布和数学期望.