1 . 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
(1)求的分布列与期望；
(2)证明为等比数列，并求关于的表达式.

5 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

7 . 高三某班有（）位同学组成学习拔尖小组，每人写了一个高考祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐后，让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片．
（1）求甲和乙恰好互换卡片的概率；
（2）①当时恰有个人取回自己的卡片，试求的分布列；
②记个同学都拿到其他同学的卡片的概率为，且已知，试写出及的表达式（无需证明）

8 . 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第次射击的得分.
（1）若，记乙的累计得分为，求的概率.
（2）①求数学期望，，；
②记，，，….证明：数列为等比数列.