1 . 某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．

2 . 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.
(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.

3 . 甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立．
(1)求进行双打比赛的概率；
(2)设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望．

4 . 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为.
(1)求;
(2)若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值.

5 . 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立.
(1)小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；
(2)小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案，
方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；
方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验.
若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好?

6 . 为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．

7 . 如图，某市有三条连接生活区与工作区的城市主干道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，在出行高峰期主干道Ⅰ有三个易堵点，它们出现堵车的概率都是；主干道Ⅱ有，两个易堵点，它们出现堵车的概率分别为和；主干道Ⅲ有四个易堵点，它们出现堵车的概率都是，某人在出行高峰期开车从生活区到工作区，假设以上各路点是否被堵塞互不影响．

(1)若选择了主干道Ⅰ行驶，求三个易堵点至少有一个出现堵塞的概率；
(2)已知主干道Ⅰ的每个易堵点平均拥堵4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点平均拥堵5分钟，主干道Ⅲ的每个易堵点平均拥堵3分钟，若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则从生活区到工作区最优的出行路线是哪一条？

8 . 已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数，求，并根据，求；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.

9 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统和系统），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统和分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统不出现故障且系统出现故障，则系统得1分，系统得-1分；若系统出现故障且系统不出现故障，则系统得-1分，系统得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统的得分为分.
(1)求的分布列；
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分，表示“系统的累计得分为时，最终认为系统比系统更稳定”的概率，则，，其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统，若，则先启动系统；若，则先启动系统；若，则随机启动两个系统中的一个，且先启动系统的概率为.
①证明：；
②若，由①可求得，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.

10 . 清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题.
(1)从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
(2)从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？