1 . 数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线，（）的形状如心形（如图），我们称这类曲线为笛卡尔心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时．

(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的最大值．

2 . 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.

(1)分别写出半圆，圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线分别交于两点（异于极点），求的面积.

3 . 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线、都过极点O．

(1)分别写出半圆和圆的极坐标方程；
(2)直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），P为上的动点，求面积的最大值．

4 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线过原点，且倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线和直线的极坐标方程；
(2)已知曲线与直线交于，两点，若，求直线的直角坐标方程．

5 . 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（其中为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)射线：与曲线，分别交于点A，B（均异于极点），当时，求的最小值.

6 . 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
(2)已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.

7 . 在极坐标系中，若点A为曲线：上一动点，点B在射线AO上，且满足，记动点B的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若过极点的直线交曲线C和曲线分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求的最大值．

8 . 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若，直线与曲线交于，两点，与曲线的一个交点为点，且，求的值

9 . 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求.

10 . 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 .与曲线相交于P，Q两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程，并求出的取值范围；
(2)求 的取值范围.