【推荐1】集合问：能否把集合．问：能否把集合分拆成2个非空子集，同时，满足（1）；（2）集合与集合的元素和相等．若可能，指出具体的分法，并给出证明；若不能，说明理由．

【推荐2】已知集合,集合为S的子集,满足:(1);(2)，求k的最大值

【推荐3】是平面上所有点的集合，其中、均是整数，且，，证明：不少于49个点的的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴.

【推荐1】设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．
（1）求；
（2）求．

【推荐2】对给定的正整数，令，，，，，，2，3，，．对任意的，，，，，，，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合，，中的最小值称为的特征，记作（A）．
（Ⅰ）当时，直接写出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．
（Ⅱ）当时，设且（A），求中元素个数的最大值；
（Ⅲ）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于．

【推荐3】给定正整数数组 .若对任意的，均有，则集合 称为“好的”.定义 为最大的正整数 ，使得集合 可以分成两个集合 满足， ，且 为好的， 为好的.若数组满足 ，且 ，证明： .

【推荐1】是否存在函数，使得对于每一个，都有及，证明你的结论（其中，，．

【推荐2】记 表示正整数 在十进制下的各位数码之和.定义，证明：对任意的 ，存在无穷多个，，使得 .

【推荐3】试证：存在无穷多个正无理数对，使得为有理数.