【推荐1】已知质量为的物体在受到的回复力作用下，将做简谐运动，其偏离平衡位置的位移与时间t的关系到遵循规律，其中，为比例系数，A为振幅。如图，一竖直光滑的足够长圆管，内有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端固定于地面上，上端与一质量为m的圆盘a相连，圆盘a静止时所在位置为O。另一质量为2m的圆盘b从距O高度为的P点由静止开始下落，与a发生碰撞，瞬间粘在一起向下运动，运动的最低点为Q。两圆盘厚度不计，半径相同且略小于圆管半径。在运动过程中，弹簧形变始终在弹性限度内，且当形变量为时，弹性势能为。重力加速度为g，忽略一切阻力。求：
（1）整个运动过程系统损失的机械能；
（2）圆盘a、b碰后做简谐运动的振幅；
（3）从圆盘b开始下落到第一次运动至最低点Q所用的时间。

【推荐2】如图所示，质量＝1.0kg的物块随足够长的水平传送带一起匀速运动，传送带始终以速度v_带＝3．0m／s匀速运动，质量＝4.0kg的物块在的右侧L＝2.5m处无初速放上传送带，两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.10，两物块碰后瞬间相对传送带的速度大小为2.0m／s，（g＝10m／s²）求：

（1）质量为m₂的物块释放后经过多少时间两物块相碰；
（2）碰撞后两物块间的最大距离。

【推荐3】如图所示，在界限MN左上方空间存在斜向左下方与水平方向夹角为45°的匀强磁场，场强大小，一半径为R=0.8m的光滑绝缘圆弧凹槽固定在水平面上，一个可视为质点的质量m=0.2kg、电荷量大小q=1×10^﹣5C的带正电金属块P从槽顶端A由静止释放，从槽底端B冲上与槽底端平齐的绝缘长木板Q。长木板Q足够长且置于光滑水平面上，质量为M=1kg。已知开始时长木板有一部分置于电场中，图中C为界限MN与长木板Q的交点，B、C间的距离X_BC=0.6m，物块P与木板Q之间的动摩擦因数为μ=，取。
(1)金属块P从A点滑到B点时的速度的大小；
(2)金属块P从B点滑上木板Q后到离开电场过程所经历的时间；
(3)金属块P从滑上Q到离开电场的过程中摩擦产生的热量。

【推荐2】直流电动机的工作原理可以简化为如图甲所示的情景．在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根光滑平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计．轨道端点MP间接有直流电源（内阻不计），电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，通过滑轮以速度v（v平行于MN）向右做匀速运动，从而提升用绳悬挂的重物．电路中的电流为I，重力加速度为g，不计空气阻力，不计绳的质量和绳与滑轮之间的摩擦．

（1）a．求重物的质量m；
b．求在t时间内，“电动机”输出的机械能．
（2）设图甲中电源电动势大小为E，当金属棒ab向右运动时，由于切割磁感线产生一个感应电动势，大小为，此时这个回路的电源电动势等效为E．
a．请从能量守恒的角度推导E =+ IR；
b．金属棒在向右运动的过程中，棒中每个自由电子都会受到一个与定向移动方向相反的力的作用，请在图乙中画出一个自由电子所受该力的示意图，并求在t时间内，金属棒运动过程中该力对所有自由电子做的总功W．

【推荐3】如图甲所示，固定平行金属导轨MN、PQ与水平面成角倾斜放置，其电阻不计，相距为L=0.5m，导轨顶端与电阻R相连，R=0.15Ω。在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为m=0.05kg的导体棒ab，距导轨顶端d₁=0.4m，距导轨底端d₂=10m，接入电路的电阻为r=0.05Ω。在装置所在区域加一个垂直导轨平面的磁场，其磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，磁场方向垂直导轨平面向上为正。已知t=0时导体棒刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²，，，求：
（1）若前0.8s内导体棒静止，则通过导体棒的电流I的大小和方向；
（2）若在t=0.8s后导体棒开始下滑，且滑到底端前已达到最大速度，则下滑全过程回路中产生的焦耳热。

【推荐2】如图所示，两根固定的光滑的绝缘导轨的水平部分与倾斜部分平滑连接，两导轨的间距L=0.5m，导轨的倾斜部分与水平面成θ=53°角．在导轨的倾斜部分方向垂直于斜面向上、磁感应强度大小为B=1T、边长为L的正方形的匀强磁场区域abcd，导轨的水平部分有n个相同的方向竖直向上，磁感应强度大小均为B=1T、边长为L的正方形匀强磁场区域，磁场左、右两侧边界均与导轨垂直，在导轨的水平部分中相邻两个磁场区域的间距也为L．现有一质量m=0.5kg，电阻r=0.2Ω，边长也为L的质量分布均匀的正方形金属线框PQMN，从倾斜导轨上由静止释放，释放时MN边离水平导轨的竖直高度h=2.4m，当金属线框的MN边刚滑进磁场abed时恰好做匀速直线运动，此后，金属线框从导轨的倾斜部分滑上水平部分继续运动并最终停止(重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，线框在运动过程中MN边始终与导轨垂直)．则：
(1)金属线框刚释放时MN边与ab的距离s是多少？
(2)整个过程中金属线框内产生的焦耳热是多少？
(3)金属线框能穿越导轨水平部分中几个完整的磁场区域？．

【推荐3】如图所示，水平光滑的平行金属导轨MM′，MN′，导轨间距L，左端与电阻相连接，电阻阻值为R，匀强磁场竖直向下分布在导轨所在的空间内，磁感应强度为B，质量为m的金属棒在垂直导轨的方向上静止在导轨上，设导轨与棒的电阻均不计，g取10m/s²，则：
(1)如图1在棒上施加一个垂直棒的恒力F，求金属棒所能达到的最大速度w_m的大小；
(2)将电阻R换成电容器，电容为C，在棒上施加一个垂直棒的恒力F，如图2所示，当金属棒右移x时（未离开磁场，电容器充电时间不计，此时电容器未被击穿），求此时电容器的带电量q
(3)不加恒力F，使棒以一定的初速度向右运动，如图3所示，当其通过位置a时速率表示为v_a，通过位置b时速率表示为v_b（注：v_a、v_b未知），到位置c时棒刚好静止，a、b与b、c的间距相等，以金属棒在由a→b和b→c的两个过程中，回路中产生的电能E_ab与E_bc之比为多大？

【推荐1】如图甲所示，两条足够长的平行金属导轨间距为l=0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为R=0.8Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为B=1T的匀强磁场。将质量为m=0.5kg、电阻值为r=0.2Ω的金属棒在AB处由静止释放，其下滑过程中的v-t图像如图乙所示。金属棒下滑过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计导轨的电阻，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数；
（2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率；
（3）金属棒从进入磁场至速率最大的过程中，通过电阻R的电荷量为9.1C，求此过程中电阻R上产生的焦耳热。
   

【推荐2】如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。

【推荐3】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B = 0.5T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l = 0.20m，两根质量均m = 0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R = 0.50Ω。在t = 0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，经过t = 5.0s，金属杆甲的加速度为a = 1.37m/s²，求此时两金属杆的速度各为多少？