【推荐1】芯片制造中，离子注入是一道重要的工序。如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P点以速度v沿半径方向射入圆形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与矩形离子控制区abcd相切于Q点，ad边长为L，开始时控制区无任何场，离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入cd处的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，bQ足够长，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）求加速电场的电压U；
（2）求圆形磁分析器的半径r；
（3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且，则要使离子不打到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？

【推荐2】激光触发原子核裂变的过程可以简化如下：竖直的两块极板AA₁，BB₁之间存在水平向右的匀强电场，BB₁板正中央有一小孔O，以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，BB₁板在y轴上，y轴右侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，距离O左边x处有一静止的原子核，不计原子核的重力和原子核间的相互作用。
（1）若原子核自然裂变成核和核，两核速度分别为水平向左v₁和向右v₂，c核直接从O进入到y轴右侧磁场中，并打在y轴上坐标为的位置，b核向左运动后没有碰到AA₁板，并最终也从O进入到磁场中，并打在轴上坐标为的位置，如果b、c两核的质量和电量分别用、和、表示，且满足，且，求；
（2）如果原子核不发生裂变直接从O点射入磁场后做如图2所示的半径为R的圆周运动，圆心为O₁。圆周上有一点G，O₁G与水平方向的夹角为。原子核受激光照射（忽略激光的动量）而裂变成b、c两核，b、c两核平分a的质量和电量，设裂变后瞬间b、c两核的速度分别为和，且。
①若在G处原子核a受激光照射而裂变，、两者方向与a核裂变前瞬间的速度方向相同，裂变后瞬间磁场方向未变，大小突然变为B₁，求B₁至少为多大才能使b、C两核不会从磁场中飞出；
②若在OG之间的某一位置原子核受激光照射而裂变，、两者方向相反且与a核裂变前瞬间的速度方向在同一直线上，发生裂变的瞬间撤去极板并且y轴左侧也加上与y轴右侧相同的磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，在之后的运动过程中，某一时刻b、c两核所在位置的横坐标分别为和，的绝对值记为x_m，问a核在圆周上何处裂变x_m有最大值，求出该处与O₁连线与y轴正方向的夹角和x_m的大小。

【推荐3】如图是离子控制器工作原理示意图。装置由加速电场、电磁分析器、偏转电场和偏转磁场组成。各组件中心截面均分布在坐标平面xOy。加速电场在第三象限，带正电离子自O点由静止释放，自A点垂直x轴进入电磁分析器。电磁分析器截面是内外半径分别为和的四分之一圆环，圆心均处在坐标原点，电磁分析器所处区域可以周期性的加入垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B（已知），或者指向坐标原点的辐向电场，离子进入分析器位置和射出位置到圆心等距，且无论是电场还是磁场，离子均在该区域做半径为R的圆周运动。第一象限存在沿y轴负向的匀强电场，离子第一次穿越x正半轴时速度方向与x轴正方向夹角为45°。第四象限存在垂直纸面的匀强磁场。整个系统置于真空中，已知离子离开第二象限时速度为v，不计离子重力。
（1）求电磁分析器中的离子轨迹所处区域的电场强度E与磁感应强度B之比和离子的比荷；
（2）求第一项象限匀强电场的电场强度；假设第四象限磁场方向垂直纸面向外，为使离子不再次穿过y轴，第四象限磁场磁感应强度的最小值；
（3）如果第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域磁感应强度为；在磁感应强度为，区域磁感应强度为B，……，区域磁感应强度为，求离子第二次穿越x正半轴之前，在运动过程中离x轴的最大距离。