【推荐1】牛顿发现的万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一。万有引力定律在应用中取得了辉煌的成就。应用万有引力定律能“称量”地球质量，也实现了人类的飞天梦想。已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G。求：
（1）地球的密度。
（2）地球的第一宇宙速度v。
（3）我国成功发射第41颗北斗导航卫星，被称为“最强北斗”。这颗卫星是地球同步卫星，已知地球的自转周期T、求该卫星的高度。

【推荐2】人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。
（1）开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。
（2）已知引力常量为G，地球的半径为R，地球表面的重力加速度是g，请估算地球的质量M及第一宇宙速度v的大小。
（3）天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。

【推荐3】2023年2月10日，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，实现了我国空间技术发展的重大跨越。已知飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为，地球半径为，地球表面的重力加速度为。
（1）求飞船在该圆轨道上运行时，速度的大小和周期。
（2）求飞船在该圆轨道上运行时，速度的大小与第一宇宙速度的大小之比。

【推荐1】已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为H（H＜＜R），（不考虑星球自转的影响，引力常量为G）．
（1）该星球的质量为多少？
（2）在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T．

【推荐2】假设某天你在一个半径为R的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h处无初速释放，测得小球经时间t落地．若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为G．求：
（1）该星球的质量M；
（2）在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v．

【推荐3】设想“嫦娥”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，周期为T。飞船在月球上着陆后，宇航员在月球表面上方h高处以初速度水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为s，已知引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的半径；
（3）月球的第一宇宙速度。