【推荐1】如图甲所示，固定的两光滑导体圆环相距1m，圆环通过导线与灯泡（额定电压为6V）及电源相连，电源的电动势E=12V，内阻r₁=1.0Ω。在两圆环上放置一导体棒，导体棒质量为0.06kg，接入电路的电阻r₂=2.0Ω，圆环电阻不计，匀强磁场竖直向上。开关S闭合后，灯泡恰好正常发光，导体棒可以静止在圆环上某位置，该位置对应的半径与水平方向的夹角为θ=37°，如图乙所示，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求此时：
（1）每个圆导轨对导体棒的支持力的大小F_N；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小。

【推荐2】如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为m＝0.2kg的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的阻值为r，现从静止释放杆ab，测得最大速度为v_m，改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示。已知MN、PQ两平行金属轨道间距离为L＝1m，重力加速度g取10m/s²，轨道足够长且电阻不计。求：
（1）金属杆ab运动过程中所受安培力的最大值；
（2）磁感应强度B的大小和r的阻值；

【推荐3】光滑平行导轨水平放置，导轨左端通过开关S与内阻不计、电动势为E的电源相连，右端与半径为的两段光滑圆弧导轨相接，一根质量、电阻、长为的导体棒，用长也为的绝缘细线悬挂，如图所示，系统空间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度，当闭合开关S后，导体棒沿圆弧摆动，摆到最大高度时，细线与竖直方向成角，摆动过程中导体棒始终与导轨接触良好且细线处于紧张状态，导轨电阻不计，（不考虑导体棒因切割磁感线产生的微弱的感应电流），。请求解：
（1）匀强磁场的方向及导体棒在摆动过程中所受安培力；
（2）导体棒在摆动过程中电源的输出功率；
（3）导体棒在摆动到最高点时加速度。

【推荐1】如图甲所示，水平放置的电阻可忽略的两根平行金属导轨相距为L，导轨左端接一电阻，金属棒ab垂直放在导轨上并接触良好，整个装置放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面如图甲所示，金属棒的电阻不计。当ab以速度v水平向右匀速滑动时，ab两端将产生动生感应电动势。
(1)求ab两端产生感应电动势的大小，并判断a、b两端电势的高低；
(2)电子随金属棒ab一起向右以速度v做匀速运动的同时还沿棒的方向以速度u做定向移动，如图乙所示是电子的运动速度分解示意图，在图乙中画出电子的合速度方向和电子所受洛伦兹力的方向；
(3)为了更加深入研究金属棒中感应电动势是如何产生的，能量是如何转化的，我们选取金属棒中的一个定向移动的电子（设其电荷量为e）为研究对象，把电子所受到的洛伦兹力分解为沿金属棒方向的分力f₁和垂直金属棒方向的分力f₂，分力f₁就是将电子从高电势搬运到低电势的非静电力，分力f₂在宏观上表现为安培力。
a．根据电动势的定义式推出金属棒向右匀速运动时产生电动势表达式；
b．分别计算f₁、f₂两个分力的瞬时功率。

【推荐2】（1）试证明:“静止的通电导线在磁场中受到的安培力，在数值上等于大量定向运动的电荷受到的洛伦兹力的总和”．以一段柱状通电直导线为例，设导线的横截面积为S，长度为L，单位体积内自由电荷数为n，电荷电量为q，电荷定向移动的平均速率为v．假定在金属导体中正电荷定向移动形成电流，得到结果具有普遍性（本假定同样适用于以下两问）．
（2）如图所示，接通电路后，导体棒在安培力作用下向右运动．此时，导体中自由电荷既在电场力作用下沿导体棒运动，又随导体棒沿水平方向运动，从而导致运动电荷所受洛伦兹力与宏观安培力不在同一方向．

在此模型中，请证明：安培力对导体棒做功，在数值上等于大量可自由运动电荷所受洛伦兹力的某个分力对电荷做功的总和．
为方便证明，可设电源电动势为E，导体棒的电阻为R，其长度为L，恰好等于平行轨道间距，整个装置处于竖直、向下磁感应强度为B的匀强磁场中，忽略电源和金属导轨的电阻．导体棒在安培力和摩擦力的作用下，向右以速度v_x做匀速直线运动，在时间t内由实线位置运动到虚线位置；同时棒内某个正电荷在该时间t内从a位置定向运动到bʹ位置．如在证明过程中，还需用到其他物理量，请自行假设．
（3）在（2）问所涉及的模型中，通过导体棒的电流：．这是因为导体在运动过程中会切割磁感线，产生“反电动势Eʹ”．请你根据该过程的微观机制，利用电动势的定义，求出图示模型中的反电动势Eʹ，并写出通过导体棒的电流I．

【推荐3】如图，一段横截面积为、长为的直导线，单位体积内有个自由电子，电子电量为.该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为。将导线放置在磁感应强度为的匀强磁场中，且电流方向与垂直。导线所受安培力大小为，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为。


（1）求时间内通过导体横截面的电流；
（2）推导。