【推荐1】已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点E，，且．
（1）如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，之间的数量关系；

（2）如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：；

（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的面积．

【推荐3】ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．
（1）如图1，MN与DN的数量关系是          ，∠DNM＝          ；
（2）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；
②连接BN，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求ADN的面积．

【推荐2】如图1，在菱形中，，，点，分别在，上，且， ，连接 ，．

(1)请直接写出的值_______；
(2)连接．将绕点逆时针旋转到图2的位置，求的值，并说明理由；
(3)在绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．

【推荐3】已知四边形的对角线相交于点O，点M是边的中点，过点M作交BD于点E，作交AC于点F．

(1)如图1，若四边形是菱形，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，若四边形是矩形，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
(3)如图3，若四边形是矩形，点M是延长线上的一个动点，点F落在的延长线上，点E落在线段上，其余条件不变，求出三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．

【推荐1】在矩形中，点E是边上一动点，连接，过点B作于点G，交边于点F．

(1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．请直接写出与之间的数量关系．
(2)如图2，，，以和为邻边作平行四边形，请探究线段与之间数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下即，，若M是的中点，连接，求的最小值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（﹣b，0），若b＝+4，C点是B点关于y轴的对称点．
（1）判断△ABC的形状并证明；
（2）P点在第一象限，且∠APC＝135°，试探究关于PA、PB、PC三条线段的确定数量关系；
（3）E点在BC上，F为线段AE的中点，EF绕E点顺时针旋转60°得到EG，E点从B点沿BC运动到C点，求G点随E点运动的路径长．
   

【推荐3】问题提出:
平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？
初步思考
设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．
（1）当C、D在线段AB的同侧时，
如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是               ；
如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB ∠ADB；
如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB ∠ADB．（填“=”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：          ．
类比学习
（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

此时有            ， 此时有             ， 此时有             ．
由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件： ．
拓展延伸
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．
求作：CN⊥AB．
作法：①连接CA，CB；
②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；
③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；
④连接F、E并延长，交直径AB于M；
⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．
则CN⊥AB．
请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）