【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，过点作于，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和线段的长度；
(3)把抛物线沿射线方向平移个单位，是新抛物线对称轴上一点，为平面上任意一点，直接写出所有使得以、、、为顶点的四边形为菱形的点的坐标．

【推荐2】如图，已知二次函数：和二次函数：图象的顶点分别为、，与轴分别相交于、两点（点在点的左边）和、两点（点在点的左边），

（1）函数的顶点坐标为______；当二次函数，的值同时随着的增大而增大时，则的取值范围是_______；
（2）判断四边形的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线，均会分别经过某些定点；
①求所有定点的坐标；
②若抛物线位置固定不变，通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线应平移的距离是多少？

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方拋物线上任意一点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点平移后的对应点为，为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x²＋bx＋c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，如图1，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；
（3）若点D在抛物线上，如图2，过点D作DM⊥BC于点M，试问是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC？若存在，请求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，等边中，，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边向终点B运动，过点P作于点Q，过点P向上作，且，以、为边作矩形，设点P的运动时间为x（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为y.
   
(1) _______（用含x的式子表示）；
(2)求当点F落在上时x的值；
(3)求在运动过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(4)直接写出运动过程中点F的运动路径长．

【推荐3】如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；
（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标；
（3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标．

【推荐2】如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．

（1）求的值：
（2）当时，求的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点和点关于原点对称，点是直线位于轴右侧部分图象上一点，连接，已知．

（1）求直线的解析式；
（2）如图2，沿着直线平移得，平移后的点与点重合．点为直线上的一动点，当的值最小时，请求出的最小值及此时点的坐标；
（3）如图3，将沿直线是翻折得点为平面内任意一动点，在直线上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形；若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

【推荐3】如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．
（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．