【推荐1】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²＝CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²＝BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

【推荐2】问题提出
(1)如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则__________；
问题探究
(2)如图②，在矩形中，点、分别在边、上，且，过点作，交于点，连接，交于点，若，，求的最大值；
问题解决
(3)如图③，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且，与交于点，且，若，，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
   

【推荐3】【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线．求证：．
【类比迁移】如图2，在和中，，， ，，．将绕点在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接，．
①请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段的长．
【拓展延伸】如图3，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最值．

【推荐1】已知和都是等腰直角三角形，

如图①，若，点，，三点共线，连接并延长与交于点，
(1)（i）求证：；
（ii）若，，求的长．
(2)如图②，，点，，在一条直线上，是的中点，平分与交于点，，连接，求的值．

【推荐3】如图l，在矩形ABCD中，BC>AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线，交AD于点K，交BC于点G．

(1)求证：；
(2)求证：AB+AK=BG；
(3)如图2，若KD=KG=2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重台），交KG于点M，交DG于点N，设PD=x，，求出y与x的函数关系式.