【推荐2】在中，的平分线交于点，交的延长线于点，分别过点，作，．
       
(1)如图，求证：四边形是菱形；
(2)如图，当点是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图，当是矩形时，连接，交于点，连接．若，，求的长．

【推荐3】如图，是的中位线，延长至点，使，连接，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)要使四边形是菱形，的边需要满足的条件是________．

【推荐1】如图，在中，弦与直径垂直，垂足为，的延长线上有一点，满足．过点作，交的延长线于点，连接交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的值；
(3)如果，求证：．

【推荐2】如图，是的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于点F，连接，，，．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)设的面积为，的面积为，若，则　　.

【推荐3】如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．过点A的直线与抛物线交于点E，且点E的横坐标为6．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在点P的运动过程中，是否存在点P使得的面积最大，求这个最大值和点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与相似．

【推荐2】如图，在中，，于点，.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时直线由点出发，沿的方向匀速运动，速度为，运动过程中始终保持．直线交于点，交于点，交于点，连接.设运动时间为．

(1)当__________s时，四边形是平行四边形；
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)连接，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】问题情境：“综合实践”课上，小聪发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小聪证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．

(1)数学思考：请参照小聪提供的思路，利用图2证明．
(2)深入探究：如图3，已知是的一个外角的平分线，与的延长线交于点，其中．求证：．
(3)应用拓展：如图4，直角坐标系中，直线（）与轴、轴分别相交于点、，以为半径的为与线段相交于点，与轴的正半轴相交于点，与轴的负半轴相交于点．交于点，求的值．

【推荐3】如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且．

(1)如图1，求证：AD平分；
(2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长．