【推荐1】在正方形中，对角线、交于点，以为斜边作直角三角形，连接．
（1）如图所示，易证：；
（2）当点的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段、、之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．

【推荐2】（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．
①求证：2CM+BE=AE；
②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．

【推荐1】【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC

小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，
连接DE．（如图2）

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3）
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4）
AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．

【迁移拓展】
△ABC中，∠B=2∠C．求证：．（如图5）

【推荐2】正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，点 P 为平面内一点，且 BP⊥CP．
（1）如图 1，P 为正方形 ABCD 外一点，过点 O 作 OE⊥OP 交 PB 的延长线于 E，探究 BE 与 PC之间的数量关系： ，并说明理由．
（2）直接写出图 1 中 BP、CP、OP 三者之间的关系： ；
（3）如图 2，当点 P 在正方形 ABCD 内部时，其他条件不变，问 BP、CP、OP 三者之间又存在怎样的关系？并说明理由．

【推荐3】已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x²+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式；
（2） 求证：∠BEF=∠AOE；
（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

【推荐1】已知是坐标原点，点A的坐标是，点B是y轴正半轴上一动点，以、为边作矩形，点、分别在边和边上，将沿着对折，使点落在上的点处，将沿着对折，使点A落在上的点处．

(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点运动到使得点、重合时，求点的坐标，并判断四边形是什么四边形？说明理由；
(3)当点运动到使得点，将对角线三等分时，直接写出点的坐标．

【推荐3】已知，在中，连接对角线，平分线交于点，平分线交于点，、交于点，点为上一点，且．

(1)如图1，若是等边三角形，，求的面积；
(2)如图2，若是等腰直角三角形，，求证：．

【推荐3】△ABC内接于O，AB＝AC，D在劣弧AC上，∠ABD＝45°
(1) 如图1，BD交AC于E，连CD．若AB＝BD，求证：CD＝DE
(2) 如图2，连AD、CD，已知sin∠BDC＝，求tan∠CBD的值