【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，，，把线段先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到线段（其中点A与点C对应）．

(1)画出平移后的线段，并直接写出点C、D的坐标；
(2)连接、，四边形的面积为__________；
(3)我们把横、纵坐标都是整数的点称为格点．若点P是格点，则图中使面积为4的格点共有_________个．

【推荐2】在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，．

(1)在点、、，中，线段的内垂点为　　　　；
(2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为　　　　；
(3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是　　　　；
(4)已知点，，若点F在过点且与x轴平行的直线上，点F是线段的一个内垂点．请你通过研究说明三角形的面积　　　　（填写“会”或“不会”）随着m值的变化而改变，若不改变，直接写出面积，若改变，说明理由．

【推荐3】如图，在每个小正方形边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，点的坐标是，点的坐标是．

（1）请你在方格中建立直角坐标系，并写出点的坐标；
（2）将向左平移2格，再向上平移3格，请在图中画出平移后的；
（3）在图中能使的格点有多少个（点异于点），写出符合条件的点坐标．

【推荐1】已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点，连接、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．

【推荐3】计算图中四边形的面积．
   

【推荐1】如图1，在中，，，，．以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．

【推荐2】正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．

(1)若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
(2)用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，在矩形中，为边上一点，平分为的中点，连接过点作分别交于两点

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，请直接写出的长．

【推荐1】如图，在三角形中，，，以为直径作交于点，交于点，直线于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求的值．

【推荐2】如图，已知是的外接圆，是的直径，且C是的中点，延长到E，且有．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求；
(3)在（2）的条件下求圆的直径．

【推荐3】如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．

   

(1)求证：DE是的切线；
(2)连接，若，，求的长．