【推荐1】如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．

(1)求证：；
(2)若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示的长；并求t为何值时，四边形是菱形．

【推荐2】长方形在平面直角坐标系中的位置如图：﹑满足

(1)求a，b的值：
(2)点E在边上运动，将长方形沿直线折叠．
①：如图①，折叠后点D落在边上的点F处，求点E的坐标；
②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处，与交于点M，与交于点N，且，求的长

【推荐3】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由．
(2)请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：            ，请说明理由．

【推荐1】如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，的面积为4．

   

(1)求k的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)设（2）中的角平分线与轴相交于点，延长到，使，连接并延长交轴于点．求证：．

【推荐2】已知，如图，在等腰三角形中，，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足．

(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)已知，求出四边形的面积，并直接写出四边形的面积与三角形的面积之间的关系．

【推荐3】已知，平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上 ，且点为线段上异于A，的一点且横坐标为．
   
(1)求点的坐标；
(2)设的面积为S，请用含的表达式表示S，并直接写出的取值范围；
(3)在轴上是否存在这样的点，使得以，，三点为顶点的三角形是等腰直角三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由．