【推荐1】【动手操作】将一张矩形纸片按下图操作：
步骤一：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．
步骤二：如图②，是上一动点，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，．请完成：
（1）试猜想的形状，并予以证明；
【类比操作】
步骤三：如图③，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕，沿折叠纸片，使点落在上点处，的对应点为，连接，，并延长交于点．
（2）请说明：．

【推荐2】如图1，在矩形中， ．对角线相交于点O，点E，F分别在对角线上，，连结．

(1)求线段的长和的度数．
(2)当点F在点B处时，以为边在右下方作等边，连结．在点F运动过程中，点G也随之运动．如图2，过点F作的平行线交于点H．若设线段长为x，线段长为y，求y关于x的函数关系式，并写出相应x的取值范围．
(3)若点F在直线上运动，以为边作等边．当点G恰好落在矩形的边上时，求的长．

【推荐3】如图，点是的边上一点，连接，过作于点，过作于点．

(1)如图①，若点为的中点时，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图②，若点不是的中点，点是上不与重合的一点，连接，，已知点在的垂直平分线上，求证：．

【推荐2】定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．

   

(1)下列说法正确的有______（填序号）．
①正方形一定是双距四边形．
②矩形一定是双距四边形．
③有一个内角为的菱形是双距四边形．
(2)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形为双距四边形．
(3)如图2，四边形为双距四边形，，，，求的长．

【推荐3】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”．
（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“十字形”的有 　　；一定是“对等四边形”的有 　　；（请填序号）
（2）如图1：若凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，求证，四边形FGMH为正方形．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20，点D从点C出发沿CA方向以2个单位每秒向A匀速运动；同时点E从A出发沿AB方向以1个单位每秒向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，DF//AB，连接EF，是否存在时间t（秒），使得四边形ADFE为“十字形”或“对等四边形”，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】《九章算术》句股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：．
解法：．
(1)根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
(2)应用（1）中的命题解决问题：某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示．其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆．该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为．考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的，，，四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为．去年的规划方案是否可行？请说明理由．

   

【推荐3】如图，矩形，，．点在的延长线上，．动点从点出发，沿边以的速度向点运动．过点作，交于点，过点作于．设动点的运动时间是．

(1)是否存在某一时刻，使射线经过点？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
(2)设四边形的面积为，解答下列问题：

①求与之间的函数关系式；

②若四边形的面积不小于，请直接写出的取值范围；

(3)当取何值时，有最小值？最小值是多少？