【推荐1】已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设．
（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标．
（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值．
（3）如图1，若点M为DE的中点，并且，点在OP的延长线上，求的最小值．

【推荐2】已知，如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点D为直线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点A逆时针旋转到AE，连接DE，过点E作交直线AB于点F．
（1）如图1，点D在线段BC上，
①猜想线段AC，DC，CE之间的数量关系，并说明理由．
②求出EF的长度．
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论．
   

【推荐3】如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.
（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；
（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.

【推荐1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，M、N分别是边AB、AC的中点，在射线MN上取点D，使∠ADM＝∠BAC，连接AD．
（1）如图1，当BC＝3时，求DM的长．
（2）如图2，以AB为底边在AB的左侧作等腰△ABE，并且使顶角∠AEB＝2∠BAC，连接EM．
①判断四边形AEMD的形状，并说明理由．
②设BC＝x（x＞0），四边形AEMD的面积为y，试用含x的式子表示y，并说明是否存在x的值，使得四边形AEMD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，点为正方形对角线的中点，，点为边上一动点，连接，过点作，分别交，于点，．过点作于点，交直线于点．

（1）①如图2，当点与点重合时，可知点，重合，点，，重合，请直接写出此时与之间的数量关系是          ；
②请你猜想图1中线段，与之间的数量关系是          ；并证明你的猜想．
（2）点在上运动的过程中，当时，请直接写出的长度．

【推荐3】已知，在矩形ABCD中，BC＝2，连接BD，把△ABD绕点B顺时针旋转后得到△FBE，旋转角度小于360°．
（1）如图1，当点E在BC的延长线上，且直线EF过点D，求AB的长．
（2）若AB＝4，如图2，取AB边的中点P，过点P作直线EF的垂线PH，垂足为H．
① 若PH交线段BD于点G，当△BPG为等腰三角形时，求BG的长；
② 直接写出PH长的取值范围．

【推荐2】如图，中，，以为直径的⊙分别交边于点D，E，过点A作⊙的切线交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图，是的外接圆，是的直径，与关于对称，点C的对应点为点D，交于点E，连接交于点F．在C点作，交的延长线于点G．

   

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的值．