【推荐1】如图，是的直柽，弦于H，点E在上，且，与交于点G，与交于点F．

(1)求证，．
(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)过点D作的切线，交的延长线于点P，点M在上．若，，试探究在点M的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值，若变化，说明变化规律．

【推荐2】如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，，作的外接圆．点在点右侧，，过点作直线，过点作于点，交右侧的圆弧于点．在射线上取点，使，以，为邻边作矩形．设．

（1）用关于的代数式表示　 　，　 　．
（2）当点在点右侧时，若矩形的面积等于90，求的长．
（3）当点在点右侧时，作直线交于点，若的弦心距为1，求的长．

【推荐3】如图，在中，．点在边上，，以为圆心，为半径的弧经过点．是弧上的一个动点．
（1）求线段的长；
（2）若是弧的中点，连接，求的正切值；
（3）若平分，延长交的延长线于点，求线段的长．

【推荐1】如图，为的直径，为的延长线上一点，过点作的切线，切点为，连接，过点作交延长线于点．

(1)求证：；
(2)若＝2，＝4，求的半径及的长．

【推荐2】如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．

   

(1)求的长；
(2)连接，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．

【推荐3】已知四边形内接于圆，直径与交于点，平分．
   
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，作，使得M、D在的两侧（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），若，求．

【推荐2】【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．

   

【推荐3】【问题背景】
（1）如图1，在中，，于，求证：；
   
【变式迁移】
（2）如图2，已知，为上一点，且，若，求的值；

   
【拓展创新】
（3）如图3，四边形中，，，为边上一点，且，，直接写出的值．
   

【推荐1】AB是⊙O的弦，OD⊥AB交⊙O于点F，P是OF延长线上一点，连接PA、PB、AF、OA．

（1）如图1，若OA⊥AP，求证：∠DAF＝∠PAF；
（2）如图2，若∠DAF＝∠APF，AB＝16，OP＝22，求OD的长．

【推荐2】如图，在中，，过点作于点，点是线段上一动点，过三点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点.   

（1）求证：四边形为平行四边形.
（2）当时，求的长.
（3）在点整个运动过程中，
①当中满足某两条线段相等，求所有满足条件的的长.
②当点三点共线时，交于点，记的面积为，的面积为，求的值. （请直接写出答案）