【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：

操作一：将图①所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点A）得到图②；

操作二：将点A折叠到点E，得到图③，展开得到两条折痕和，如图④；

根据以上操作：与的数量关系是        ，位置关系是        ；

(2)迁移探究：

小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：

将矩形纸片（图⑤）按照（1）中的方式操作，得到图⑥．

若，图⑥中折痕和的数量关系是        ，并证明．

(3)拓展应用：

在（2）的探究中，若，且E为的中点，折痕和相交于P，M是边上一点，，连接，过P作的垂线与相交于点N，如图⑦，直接写出的长．

【推荐2】如图①，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．
（1）【证明与推断】
①求证：四边形是正方形：
②推断：的值为______；
（2）【探究与证明】：将正方形绕点顺时针方向旋转度（），如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点．
①求证：
②若，，求的长．
   

【推荐3】阅读材料：如图（1），在中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）

(1)【理解与应用】
如图（2），正方形的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．

【推荐2】如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；
（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）

【推荐3】∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．
（1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形；
（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；
（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．