【推荐1】如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．
   
(1)填空：___________（填“”“”或“”）．
(2)如图2，的平分线交直线于点．
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．

【推荐3】在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合）将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．

（1）如图1，当α＝β＝90°时，EB与EF的数量关系为　 　；
（2）如图2，当α＝60°，β＝120°时，
①依题意补全图形；
②探究（1）的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例证明．

【推荐3】如图，已知为等腰直角三角形，，点分别为边上的一动点（且满足），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，

(1)如图，当点与点重合时，求证：
；
；
(2)如图，当点与点不重合时，探究线段与之间的数量关系，请说明理由；
(3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，若，，，直接写出的长．

【推荐1】如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P在边AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD沿着PD所在的直线对折后得到，设点P的运动时间为x（s）．

(1)当点恰好与点B重合时，x＝______；
(2)在动点P从点A运动到点C的过程中，若是等腰三角形，试求x的值；
(3)如图2，将△APD绕PD的中点旋转180°后得到，在动点P从点A运动到点C的过程中，若是以为腰的等腰三角形，试求x的值．

【推荐2】如图，△ABC中，AB=5，BC=11，，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．

（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；
（2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的长．

【推荐3】【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上．当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆．

   

【初步思考】
（1）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为 ．
（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【深入研究】
（3）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点．在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围．