【推荐1】如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，同时摆动臂可以绕点D旋转，已知，，，．

(1)直接写出的长______；
(2)在旋转过程中，当以A，D，M为顶点的三角形为直角三角形时，直接写出的长_____；
(3)如图2，把摆动臂顺时针旋转至，连接．
①当，时，求的长．
②当B，D，E三点在同一直线上时，直接写出的长_____．

【推荐2】已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，求点D到直线AB的距离．

【推荐3】如图1，在正方形ABCD中，，点O，E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．

(1)____________
(2)如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转，点O的对应点为，点F的对应点为，设M为半圆上一点．
①当点F落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆交BC于P，R两点时，若的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出的值．

【推荐2】思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是_____米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是______；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

【推荐3】【自主探究】
在课堂上，老师指导大家做以下实践活动：大小相同的两个矩形ABCD，AEFG重合在一起，将矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使得点G落在线段BC上，连接DE交AG于点H，如图（1）．
在猜想线段HD与HE的数量关系时，大家一致认为HD＝HE，并且有两个小组给出如下的证明思路．
刘聪组：已知线段HE是直角三角形EAH的斜边，故可构造一个以HD为斜边的直角三角形，通过证明这两个三角形全等，即可得到HD＝HE；
王慧组：要想证明HD＝HE，可构造一个三角形，使得点H，A在此三角形的两条边上，再利用平行线分线段成比例定理进行证明．

(1)【操作思考】请你分别在图（1）、图（2）中作出符合“刘聪组”和“王慧组”思路的辅助线，并将辅助线的作法写在下面的横线上．
刘聪组：______
王慧组：______
(2)请你根据（1）中所作辅助线进行判断，下面说法正确的是（       ）
A．“刘聪组”的思路正确，“王慧组”的思路不正确
B．“王慧组”的思路正确，“刘聪组”的思路不正确
C．“刘聪组”和“王慧组”的思路都正确
D．“刘聪组”和“王慧组”的思路都不正确
(3)【变式证明】
将矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使得点G落在线段CB的延长线上，连接DE交GA的延长线于点H，如图（3），则HD＝HE成立吗？说明理由．
(4)【拓展延伸】将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使得点F落在CB的延长线上，连接DE交FA的延长线于点H，且点C，A，E在同一直线上，如图（4），则HD＝HE是否成立？如果成立，请直接写出的值；如果不成立，请说明理由．