【推荐3】如图，在四边形中，．

(1)在图（1）中连接，并证明平分；
(2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长；
(3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由．

【推荐2】如图1，在中，，，． 以为边向的下方作等边，连接，求的长．
   
(1)尝试探究     如图2，小明将绕点P顺时针旋转得到，然后证   为等边三角形，进而求得 ；
(2)类比应用
①如图1，在中，其中是一个可以变化的角，，． 以为边向的下方作等边．连接，则长的最大值是            ；
②如图3，在中，其中是一个可以变化的角，，． 以为边向的下方作等腰直角．连接，求长的最大值及的长最大时的大小；
③拓展提升：如图4，点P 是等边三角形内部的一点，若，，，            ．

【推荐1】问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于O点，，直线与直线的夹角为，求线段、、满足的数量关系．
分析：考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作且，则四边形是平行四边形，从而；
由于，，所以是等边三角形，故；
通过平行又求得．
在中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若，，，请直接写出线段的长__________；
问题解决：
如图③，矩形中，E、F分别是、上的点，满足，，求证：；
拓展应用：
如图④，中，，D、E分别在、上，、交于点O，，，若，，则____________．

【推荐2】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证．

数学思考：
（1）请你解决老师提出的问题．
深入探究：
（2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题．
（3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．

【推荐3】问题的提出：矩形中，点是中点，连，将沿翻折，得对应，点对应点总在矩形内，延长交于点，如图．

(1)求证：；
(2)特殊的思考：若点为中点，求的值；
拓展与运用：若，直接写出（用含的式子表示）．