【推荐1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB中点，点P为BC延长线上一点，CP＜BC，连接PM，AC＝n，CP＝m．

（1）如图：将射线MP绕M逆时针旋转60°交CA延长线于点D，且BC＝AD+CP．
①求证：∠MDC＝∠PMA．
②求的值；
（2）如图2若将射线MP绕点M顺时针旋转60°交AC延长线于点H，求CH的长（用含有m，n的式子表示）．

【推荐2】在中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将绕点A顺时针旋转一定的角度α得到，点B、C的对应点分别是E、D．
（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
（2）如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：DF=BE；
（3）如图3，点B、C的坐标分别是(0,0)，(0,2)，点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．
   
(1)如图1，若，则______．
(2)如图2，点在延长线上，且．
①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若，求的长．

【推荐1】已知，如图，在正方形中，点P在射线上，连接，，M、N分别为、中点，连接交于点Q．

(1)如图1，当点P与点D重合时，直接写出的度数；
(2)当点P在线段的延长线上时，
①依题意补全图2；
②在点P运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由．
(3)若过点B作直线的垂线交其于点H，连接，若，请直接写出线段长度的最大值．

【推荐2】如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．

【推荐3】ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．
（1）如图1，MN与DN的数量关系是          ，∠DNM＝          ；
（2）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；
②连接BN，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求ADN的面积．

【推荐2】如图，在中， ， ，，点 D 是边 上的动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．

(1)当点 E在边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
(2)如果，请直接写出的长

【推荐3】如图，已知中，，点D在边AB上，满足，
   
（1）求证：；
（2）若，且的面积为，试求边AB的长度．

【推荐1】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段DE，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，则AD＝        ．

【推荐3】综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得．
【操作发现】
（1）将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，与相交于点H，如图4所示，连接，直接写出线段的长度．