【推荐1】已知：抛物线交轴于点、两点左右，交轴正半轴于点，．

(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，是第一象限抛物线上一点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
(3)如图，在（2）的条件下，连接与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点为线段延长线上一点，连接、，若，，求点的坐标．

【推荐2】如图，二次函数y＝x²＋bx＋c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；
(3)若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．
①当点F落在该抛物线上时，求m的值；
②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．

【推荐1】如图①抛物线y＝﹣x²+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．
（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标．
（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围．
（3）如图②，四边形CDQP为平行四边形时，
①求k的值；
②E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由．

【推荐2】已知：在平面直角坐标系中，直线分别交轴于点两点，点在轴正半轴上,.
如图1，求直线的解析式；

如图2，点为第一象限内一点，，交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，求的值；

如图3，在的条件下，连接平分交于点，点为中点，连接，点在轴正半轴上，连接，并延长交直线于点，若，，求点的坐标.

【推荐1】如图，已知抛物线与轴交于，两点（点位于点左侧），与轴交于点，连接．点为抛物线的顶点，点为．
   
（1）点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴交抛物线于点，作轴于点，作轴于点，点在点右边．点是直线上一个动点，点是直线上一个动点，当四边形的周长最大时，求的最小值；
（2）如图2，将原抛物线绕其对称轴与轴的交点旋转得新的抛物线，点，的对应点分别记为，，把抛物线沿直线平移，，的对应点分别记为，是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知，如图，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.
(1)求这个二次函数关系式.
(2)当△EFR周长最大时.
①求此时点E点坐标及△EFR周长.
②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.
   

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，其中，与轴交于，且过．连接，作直线．

(1)求该抛物线的解析式：
(2)已知直线下方抛物线上有一动点，过点作轴交直线于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标；
(3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的坐标并写出其中一种情况的求解过程．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，一次函数y＝kx＋b（k≠0）与抛物线交于B、D两点，已知cos∠ABD＝．

(1)求点D的坐标；
(2)点F是抛物线的顶点，连接BF．P是抛物线上F、D两点之间的任意一点，过点P作PE∥BF交BD于点E，连接PF、PD、FE．求四边形PFED面积的最大值及相应的点P的坐标；
(3)连接AC，将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线与原抛物线交于点G．S是原抛物线对称轴上一点，T是平面内任意一点，G、S、A、T四点能否构成以AS为边的菱形？若能，请直接写出点T的坐标；若不能，请说明理由．

【推荐2】如图1，二次函数y＝x²＋bx－4的图象与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿线段AB，AC运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

(1)求该二次函数的解析式和点C的坐标；
(2)如图2，当点P、O同时运动秒时，停止运动，这时在抛物线对称轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，当P、Q运动t秒时，把△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上点D处，请判定此时四边形APDQ的形状，简要说明理由，并求出此时t的值．

【推荐3】如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．