【推荐1】已知，为的高，交于，交于，连接，且有
求证：（1）
（2）

【推荐2】爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．

小明的解法如下：
过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，
∴            ，
，
∵，
∴
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：．

(3)【直接应用】如图3所示，中，，是交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出            ．

(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分的面积．

【推荐3】如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．

(1)求证：．
(2)当时，求证：平分．

【推荐1】如图，在坐标系中有点，点，若x轴上有一点C，且为等腰三角形，求出所有符合条件的点C坐标．

【推荐2】定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”．
若A、B的坐标分别是（1，0）和（0，2）．在下图的网格中找出符合条件的“整点P”．
（1）若△APB是等腰三角形，满足条件的整点P共有 个．它们的坐标分别是     ；
（2）若△APB是直角三角形，满足条件的整点P共有 个．它们的坐标分别是     ．

【推荐3】（1）尺规作图：如图1，请在x轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．
（2）如图2，已知点A（4，2），点B在x轴上，若∠OAB=90°，试求点B的坐标；
（3）如图3，已知点A（4，2），点C在x轴上，若△OAC为等腰三角形，试求点C的坐标．

【推荐2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证△BED≌△CFD．
（2）已知EC=6，AC=10，求BE．
（3）当∠C=45°时，判断△DFC的周长与线段AC长度的关系，并说明理由．

【推荐3】如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．
   
(1)依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形是菱形；
(2)若，为的中点，且，求的长．