【推荐1】我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．

(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．
(2)如图1，△是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断△和△是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求的余弦值．

【推荐2】已知点P是⊙O上一个动点，点A、B在⊙O上，且，．
（1）当点P在优弧上移动时，求的度数；
（2）当点P移动到使这个位置时，如图①，证明：；
（3）当点P运动到优弧的中点时，点Q在上移动（点Q不与点P、B重合），如图②，若 的面积为，的面积为，直接写出的取值范围．

【推荐3】是直径，分别是上下半圆上一点，且弧弧，连接，连接交于，
（1）如图(1)求证：；
（2）如图(2)是弧一点，点分别是弧和弧的中点，连接，连接分别交，于两点，求证：
（3）如图(3)在(2)问条件下，交于，交于，过点作交于，连接，若的面积等于，求线段的长度

【推荐1】如图1，已知，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限.点是边上的一个动点.

（1）若点在边上，，求点的坐标；
（2）若点在边或上，点关于一条坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标；
（3）若点在边、或上，点是与轴的交点，如图2，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，求点的坐标（直接写出答案）.

【推荐2】在中，，，为上一点．

      

(1)如图1，过C作于，连接，．若平分，，求的长；
(2)如图2，以为直角边，点为直角顶点，向右作等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，取线段的中点，连接．猜想、的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，当取得最小值时，求的面积．

【推荐3】如图1，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，直线经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)①求抛物线的表达式和b的值；
②连接、、，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(2)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，连接，．

(1)如图1，分别求、的值；
(2)如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点的横坐标是3，点在上，连接，点在上，点为第二象限内直线左侧一点，连接、，，连接并延长至点，连接，，，，交于点，若，求点的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点A，与的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，.

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过作轴交抛物线于点，连接，设四边形的面积为，点的横坐标的，求与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，过作∥y轴交于点，连接交于点，点是上一点，连接、，当，求点的坐标.

【推荐1】已知：内接于，为劣弧的中点，．
   
（1）如图1，当为的直径时，求证：；
（2）如图2，当不是的直径，且时，求证：；
（3）如图3在（2）的条件下，，，求长．

【推荐3】如图①，在中，，是上一点不与点，重合，以为圆心，长为半径作交于点，连结并延长交于点，连结，，．

(1)求证：；
(2)如图②，若，求证：；
(3)如图③，，．
①若，求的半径长；
②求的最大值．