【推荐1】如图，点C是线段AB的中点．

（1）若点D在线段CB上，且DB=3.5cm，AD=6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将（1）中的点“D在线段CB上”改为“点D在直线CB上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度；
（3）若线段AB="12" cm，点C在AB上，点D、E分别是AC和BC的中点．
①当点C恰是AB中点时，则DE=      cm．
②当AC=4cm,时，求DE的长；
③当点C在线段AB上运动时（点C与A、B重合除外），求DE的长．

【推荐2】已知线段AB=35cm

（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO=4cm，PO=3cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转二周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度.

【推荐3】【新知理解】
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．
（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；
【解决问题】
（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？

【推荐1】△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，．

(1)如图1，当和如图摆放，连接，其中与相交于点F．那么与之间存在着怎样的位置关系，请说明理由；
(2)如图2，当和如图摆放，F为的中点，连接，并在的延长线上取一点C，连接，使．求证：．

【推荐1】如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．

(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若∠BAC＝60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

【推荐2】【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
3．角平分线
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如下图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．
求证：．

分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)请根据教材内容，结合上图，补全定理的证明过程．
(2)【应用】如图1，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为______．

(3)【拓展】如图2，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为______．

【推荐3】如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分．求证：

(1)．
(2)．