【推荐1】如图①，四边形是边长为2的正方形，，四边形是边长为的正方形，点分别在边上，此时，成立．
（1）当正方形绕点逆时针旋转，如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形绕点逆时针旋转（任意角）时，仍成立吗？直接回答；
（3）连接，当正方形绕点逆时针旋转时，是否存在∥，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，在中，点在斜边上，以点为圆心，的长为半径作圆，分别与，相交于，，连接，已知，求证：是的切线．

【推荐1】如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？（保留作图痕迹，不写作法）

【推荐2】作图题，在下面图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等.（不写作法，要求保留作图痕迹）

【推荐3】如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC．