【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当存在时，求运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过，且与轴正半轴交于，两点．

（1）如图1，连接，将线段绕点顺时针旋转，使得落在轴的负半轴上，求点的路径长；
（2）如图2，延长线段至，使得，若，且，求抛物线的解析式；
（3）如图3，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，经过点的直线与抛物线交于点、，若在轴上存在、，使，求的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，过点A的直线与y轴交于点C，过点B的直线与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，过点Q作直线的垂线交于点M；求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，把抛物线向右平移3个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线，过新抛物线上点E作直线的平行线交新抛物线对称轴于点F、交y轴于点G，连接．若，直接写出点F的坐标．

【推荐2】如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长．

【推荐3】综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．

（1）操作发现 ：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，
①_________，
②设，则_________（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中，，则菱形较长对角线的长_________．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图：已知关于x的二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.

【推荐3】抛物线交x轴于A，B两点（点A在点 B 的左边），交y轴于点C．
   
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图1，直线经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点D的横坐标；
(3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线，，是抛物线上两点（P点在点左侧），直线交抛物线C对称轴于点E，过点作y轴的平行线分别交x轴，直线于F，H两点，交x轴于点G，求证：．

【推荐1】已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．
       
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)若图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点G，求的面积；
(3)在对称轴上找一点Q，使的值最小，求满足条件的点Q坐标；
(4)在抛物线上是否存在一点P，使得是以为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存在，说出理由．

【推荐2】如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.