【推荐1】如图，已知，为射线上一定点，点关于射线的对称点为点为射线上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段逆时针旋转至线段，满足点在射线的反向延长线上．
(1)依题意补全图形；
(2)当点在运动过程中，旋转角是否发生变化?若不变化，请求出的值，若变化，请说明理由；
(3)从点向射线作垂线，与射线的反向延长线交于点，探究线段和的数量关系并证明．
   

【推荐2】已知点 C为线段 AB上一点，分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作△ACD和△BCE，且 CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线 AE与 BD交于点 F

(1)如图 1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝     
(2)如图 2，若∠ACD＝α，则∠AFB＝        （用含α的式子表示），并说明理由。
(3) 将图 1 中的△ACD绕点 C顺时针旋转如图 3，连接 AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度数.

【推荐3】图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：
（1）如图①，BC与BD的数量关系是              ；
（2）如图①，CD与AB的数量关系是          ；并说明理由．
猜想验证：
（3）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（4）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（3）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．

【推荐1】如图，已知线段，垂足为a．

（1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点．

【推荐3】 AB，CD是的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．
(1)如图1当点E在外时，连接，求证BE平分∠GBC；
(2)如图2当点E在内时，连接AC，AG，求证：AC=AG
(3)在(2)条件下，连接BO，若BO平分，求线段EC的长．

【推荐1】如图所示：已知中，，在内部作分别交于点

[操作]（1）将绕点逆时针旋转，使边与边重合，把旋转后点的对应点记作点，得到，请在图中画出;(不写出画法)
[探究]（2）在作图的基础上，连接， 求证：
[拓展]（3）写出线段和之间满足的数量关系，并简要说明理由．

【推荐2】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗?请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线交于点，.
试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结.已知，求的长.

【推荐3】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

   

(1)思路梳理
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
根据 　　，易证　　，得．
(2)类比引申
如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系　　时，仍有．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．

【推荐1】如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点O是AB的中点，直线l：y=kx+2k+4过定点D，交x轴于点P．
(1)求正方形ABCD的边长；
(2)如图1，在直线l上有一点N，，连接BN，点M为BN的中点，连接AM，求线段AM的长度的最小值，并求出此时点N的坐标．
(3)如图2，过点P作PE⊥DP交∠CBx的平分线于点E，点Q是直线AD上一点，四边形PQCE是否可能为菱形，如果能求出此时直线CQ的解析式，如果不能，则说明理由．
   

【推荐2】已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.

（1）AB=_____,AC=______.
（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，设P点运动时间为t秒.
①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.
②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF，CD．
（1）四边形ADCF是什么特殊的四边形？说明理由；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．