【推荐1】如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P为直线BC上方的抛物线上一点，轴交BC于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值及此时P点坐标；
(3)在（2）中m取得最大值时条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点H，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．使得以点F，H，M为顶点的三角形是等腰三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐2】如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，顶点为，连结．
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，若，求点坐标；
（3）在抛物线上一点，若有一个内角为45°，求点坐标．

【推荐1】【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材12页给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在中，，CD为斜边AB上的中线．
求证：
证明：如图2，延长CD至点E，使，连接AE，BE．

(1)【定理探索】
请结合图2将证明过程补完整；
(2)【问题解决】
如图3，在中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，，点F为垂足，若，则______度；
(3)【应用探究】
如图4，和均为直角三角形，，，连接CD交AB于点E，已知，，请直接写出CD的长．

【推荐2】AB，AC为⊙O的弦，AB＝AC．
（1）如图（1），求证：∠BAO＝∠CAO；
（2）如图（2），BD为⊙O的弦，过点D作OA的垂线交⊙O于点E，连接CE，求证：BD＝CE；
（3）如图（3），在（2）的条件下，连接CD交AB于点F，连接OF，AE，若OF⊥AB，FD＝5，S_△ACE＝30，求DE的长．

【推荐3】基本图形：
在中，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到．
探索：
（1）连接，如图①，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接，如图②，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论：
拓展：
（3）如图③，在四边形中，．若，，求的长．
   　　      　　   

【推荐1】如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．

(1)求这条抛物线的解析式．
(2)如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．
(3)如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线的顶点为，点、在该抛物线上．
(1)当时，①求顶点P的坐标；②求的值；
(2)当恒成立时，求的最小值．

【推荐3】定义：一组对角相等，另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．

(1)如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在直线AC上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求AE的长．
(2)游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图③，△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村，据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km²以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣≤2c²+16a﹣8成立，直接写出n的取值范围．

【推荐3】如图，函数y＝﹣x²＋bx＋c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x²﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．

（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y＝﹣x²＋bx＋c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x²＋bx＋c，连接AD交BC于E，在对称轴上是否存在一点F，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，使点F恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．