【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，、的长分别是方程的两个根，且．

(1)求点B的坐标；
(2)如图2，过点A且垂直于的直线交y轴于点F，在直线上截取，过点D作轴于点E，求经过点D的反比例函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，写出点P的个数及其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点．

(1)填空：点C的坐标为____________；
(2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒，
① 当时，点E坐标为__________，
② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示）
③ 当点E到y轴距离为7时，求t值；
(3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形OABC中，点A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．

   

【推荐1】甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃＝…＝A₇A₈＝1．
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：

()²＋1＝2，S₁＝；()²＋1＝3，S₂＝；（）^２＋1＝4，S₃＝；…．
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA₁₀的长；
（2）求出的值．

【推荐2】已知点，，a与b满足．点C为AB的中点．

(1)如图1，求的长；
(2)如图2，E、F分别为上的动点，且，求证：
(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰，，T为线段的中点，连并延长至点N，使，连，求的最小值．

【推荐3】如图，点P是正方形内的一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)延长交直线于点E．
①如图2，当点E在线段上时，求证：；
②若正方形的边长为10，，，求线段的长．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发在边AB上向点B匀速运动，同时点Q从点A出发在边AD上向点D匀速运动，速度都是1cm/s，运动时间是ts（），，交BD于点E，点Q关于PE的对称点是F，射线PF分别与BD，CD交于点M，N．
（1）求度数，并用含t的代数式表示PE的长；
（2）在点P，Q运动过程中，过点M作于点H，
①求证：，
②t为何值时，以点P，Q，E为顶点的三角形与相似？