【推荐3】等腰与等腰中，．

（1）如图1，连接在一条直线上，是中点，证明：；
（2）如图2，连接，过作交于，求值
（3）如图3，连接，若，直接写出长为__________．

【推荐1】如图①，已知平面内一点与一直线，如果过点作直线，垂足为，那么垂足叫做点在直线上的射影；如果线段的两个端点和在直线上的射影分别为点和，那么线段叫做线段在直线上的射影．
如图②，、为线段外两点，，，垂足分别为、．则点在上的射影是________点，点在上的射影是________点，线段在上的射影是___，线段在上的射影是________；
根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．（要求：画出图形，写出说理过程．）

【推荐3】如图1，直角三角形中，，为边上的高，点在线段上，连接交于点．

（1）若平分．
①求证：．
②如图2，过作交于，，求的值．
（2）如图3，，，过作交于，当时，请猜想，之间的数量关系，并证明．

【推荐1】探究题：

(1)如图1，已知，求作四边形，使得四边形的面积是面积的2倍；
(2)如图2，在矩形中，E为边上一点，试在的延长线上找一点，使得四边形的面积等于矩形的面积，并说明理由；
(3)如图3，有一块五边形空地，，，，，，，，，点F在边上，且，市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一个花园，为了方便行人行走，计划在花园中间修一条过点F的笔直小路（路的宽度不计），使得小路的另一出口在上的点Q处，且恰好将五边形的面积平分，请你帮助市政设计出小路的位置（在图中画出），并求出小路的长．

【推荐2】如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形.若显示屏AO与键盘BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，且PD⊥AO（此时点P为最佳视角），点C在OB的延长线上，PC⊥BC，BC＝12cm.
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）当∠AOC＝115°时，线段PC的长比（1）中线段PC的长是增大还是减小？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）.

【推荐1】如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．

（1）当时，求的长．
（2）当M在线段上时，若，求的长．
（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．
②若，直接写出与的面积比_______．

【推荐2】如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为点.点在直线上方的抛物线上运动，且点的横坐标为，过作轴交直线于，作轴于，交直线于点.

（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若的长为，求关于的函数关系式；
（3）在点的运动过程中，当时，试求出的值与的值.

【推荐3】和都是等边三角形，绕点旋转，连接．
猜测发现 ：（1）如图1，与是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．
问题解决 ：（2）若三点不在一条直线上，且，求的长．
拓展运用 ：（3）若三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为1和2，的面积及的值．