问题提出:在平面上,给出
个圆把平面至多分割成多少个区域?
问题探究:
为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题.
探究一:1条直线可以将平面分成2个区域;2条直线时,要使分成的区域尽量多,则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分;3条直线时,如图1,要使分成的区域尽量多,就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交,避免多条直线相交于一点和平行关系的出现,这样就会得到2个交点,这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了
个区域,所以3条直线至多将平面分成
个区域;4条直线时,如图2,要使分成的区域尽量多,就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交,避免多条直线相交于一点和平行关系的出现,这样就会得到3个交点,这3个交点将第4条直线分为了2条射线和
条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了
个区域,所以4条直线至多将平面分成
个区域;5条直线时,如图3,要使分成的区域尽量多,就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交,避免多条直线相交于一点和平行关系的出现,这样就会得到4个交点,这4个交点将第5条直线分为了2条射线和
条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了
个区域,所以5条直线至多将平面分成
个区域;由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域;依此类推
条直线可以将平面至多分成 个区域.
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探究二:1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了
条弧,将平面至多分成了
个区域;4个圆时,要使分成的区域尽量多,第4个圆与前3个圆都相交被分成了
条弧,将平面至多分成了
个区域;以此类推5个圆可以将平面分成 个区域.
问题解决:
个圆至多可以将平面分成 个区域.
问题拓展:仿照前面的过程,
个三角形至多可以将平面分成 个区域.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
问题探究:
为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题.
探究一:1条直线可以将平面分成2个区域;2条直线时,要使分成的区域尽量多,则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分;3条直线时,如图1,要使分成的区域尽量多,就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交,避免多条直线相交于一点和平行关系的出现,这样就会得到2个交点,这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了
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探究二:1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了
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问题解决:
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问题拓展:仿照前面的过程,
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更新时间:2021-05-06 21:42:15
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【推荐1】用火柴棒按下列方式搭建三角形:
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(1)当三角形个数为1时,需3根火柴棒;当三角形个数为2时,需5根火柴棒;则当三角形个数为100时,需火柴棒 根;当三角形个数为n时,需火柴棒 根(用含n的代数式表示);
(2)当火柴棒的根数为2019时,求三角形的个数?
(3)组成三角形的火柴棒能否为1000根,如果能,求三角形的个数;如果不能,请说明理由.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2019/12/6/2349145910550528/2350042076536832/STEM/6c2db3decd624c7b8dd8d4b38682c5ac.png?resizew=319)
(1)当三角形个数为1时,需3根火柴棒;当三角形个数为2时,需5根火柴棒;则当三角形个数为100时,需火柴棒 根;当三角形个数为n时,需火柴棒 根(用含n的代数式表示);
(2)当火柴棒的根数为2019时,求三角形的个数?
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【推荐2】“数缺形时少直观,形少数时难入微”,小明在探究
…+
结果时,发现可利用图形的知识来解决问题.他是这样规定的:在图
中,若线段
的长为
,
为
的中点,
为
的中点,
为
的中点,
,
为
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/12/25/f703ec14-135c-488b-9f3e-d1c6b53d5f0f.jpg?resizew=402)
(1)则可以得出线段
______,
_______,
_______;
(2)从而发现了
…+
=_________;
(3)小明学习上爱动脑,经过认真思考和分析后,发现在计算
时,也可以利用构造一个图形,通过面积来计算.他构造图形是:如图
,
面积为
,分别取
、
两边的中点
、
,再分别取
、
的中点
、
,依次取下去
,能直观地计算出结果.请你根据这个图形说明小明的结果:
=_______.请你对小明的发现,试给出必要的说理.
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(1)则可以得出线段
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/72d128e35bb0318d97cf7d474da82e96.png)
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(2)从而发现了
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e90b1c9e33ab6a4ad0e722a0d9a991e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9daeeff77afcd30abd9f26a0ef6eba17.png)
(3)小明学习上爱动脑,经过认真思考和分析后,发现在计算
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
【推荐1】(1)化简:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4af8ebadcccfb70f46bed589355acb4e.png)
(2)阅读下面这位同学的计算过程,并完成任务
先化简,再求值:
,其中
,
.
解:原式
第一步
第二步
.第三步
当
,
时,原式
.第四步
任务:
①第一步运算用到了乘法公式______(写出1种即可);
②以上步骤第______步出现了错误,错误的原因是______;
③请写出正确的解答过程.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4af8ebadcccfb70f46bed589355acb4e.png)
(2)阅读下面这位同学的计算过程,并完成任务
先化简,再求值:
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd24f3c4bc9f9a75d4b28630bb630d2b.png)
解:原式
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当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd24f3c4bc9f9a75d4b28630bb630d2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b29955daac9bfbf9e176c028cb8ac05a.png)
任务:
①第一步运算用到了乘法公式______(写出1种即可);
②以上步骤第______步出现了错误,错误的原因是______;
③请写出正确的解答过程.
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
【推荐2】我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如图
可以得到![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/326f0c4379ddfa082220745e2aaeec98.png)
.请解答下列问题:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2019/10/24/2318695266222080/2318989806362624/STEM/50b1433e544a43638834ef1389cc461d.png?resizew=162)
(1)写出图
中所表示的数学等式;
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2019/10/24/2318695266222080/2318989806362624/STEM/6e516e91ed6e48cd87b7aea109b54a63.png?resizew=147)
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知
,
,求
的值;
(3)小明同学打算用
张边长为
的正方形,
张边长为
的正方形,
张相邻两边长为分别为
、
的长方形纸片拼出了一个面积为
长方形,那么他总共需要多少张纸片?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/326f0c4379ddfa082220745e2aaeec98.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce93a0766da7c69ebadf40630842f5cb.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2019/10/24/2318695266222080/2318989806362624/STEM/50b1433e544a43638834ef1389cc461d.png?resizew=162)
(1)写出图
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2019/10/24/2318695266222080/2318989806362624/STEM/6e516e91ed6e48cd87b7aea109b54a63.png?resizew=147)
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c3711daaef09e793c53354c6ec0fdab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d36b4f7d7e9a0ffac128cab99a0ddfb8.png)
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(3)小明同学打算用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
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