八上教材给出了命题“如果
，
，
分别是
和
的高，那么
”的证明，由此进一步思考……
【问题提出】
（1）在和中，，分别是和的高，如果
，
，，那么和全等吗？
（i）小红的思考
如图，先任意画出一个，然后按下列作法，作出一个满足条件的，作法如下：
①作的外接圆
②过点
作
，与交于点
③连接
（点
与
重合），
（点
与
重合），得到
请说明小红所作的
．
（ii）小明的思考
如图，对于满足条件的，和高，；小明将通过图形的变换，使边
与
重合，，
相交于点
，连接
，易证
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在和中，，分别是和的高，（
），且，
，求证：
．
，，分别是和的高，那么”的证明，由此进一步思考……【问题提出】
（1）在
和中，，分别是和的高，如果，，，那么和全等吗？（i）小红的思考
如图，先任意画出一个
，然后按下列作法，作出一个满足条件的，作法如下：①作
的外接圆②过点
作，与交于点③连接
（点与重合），（点与重合），得到请说明小红所作的
．（ii）小明的思考
如图，对于满足条件的
，和高，；小明将通过图形的变换，使边与重合，，相交于点，连接，易证接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在
和中，，分别是和的高，（），且，，求证：．
更新时间：2021-05-08 19:33:30
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【推荐1】在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作OH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）求证：∠MQB＝∠PAC；
（2）求证：AP＝QM；
（3）用等式表示线段MB与CP之间的数量关系，并证明．
（1）求证：∠MQB＝∠PAC；
（2）求证：AP＝QM；
（3）用等式表示线段MB与CP之间的数量关系，并证明．
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【推荐2】如图，在
中，
，将绕点A旋转得到
．
(1)如图（1），连接
．
①若旋转角为
，直接写出
和
的度数；
②求证：与互补；
(2)如图（2），连接
，过点E作
交直线于点F，求证；
．
中，，将绕点A旋转得到．(1)如图（1），连接
．①若旋转角为
，直接写出和的度数；②求证：
与互补；(2)如图（2），连接
，过点E作交直线于点F，求证；．
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中，
，
于点
（不需要证明）；
，射线
在这个角的内部，点
的边
、
上，且
于点
，
于点
；
、
分别是
、
的外角．已知
．求证：
；
．点
，点
与
的面积之和为__________．
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【推荐1】如图，是
的直径，弦
，
，
的平分线交于点
，连接．
(1)求直径的长；
(2)求阴影部分的面积．（结果保留
）
是的直径，弦，，的平分线交于点，连接．(1)求直径
的长；(2)求阴影部分的面积．（结果保留
）
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【推荐2】定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足
，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
定义2：如图2，在中，
的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称为的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在中，
，
，
三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．
(1)如图3，若FE
BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
(2)如图4，在中，作
于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．
①证明：为的光线三角形；
②证明：的光线三角形是唯一的．
，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在
中，的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称为的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：
在
中，，，三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．(1)如图3，若FE
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；再在弦
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【推荐1】已知：在中，以
边为直径的交于点，在劣弧
上取一点
使
，延长
依次交于点
，交于
．
（1）求证：
；
（2）若
，的直径等于10，
，求
的长．
中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点使，延长依次交于点，交于．（1）求证：
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【推荐2】如图，内接于，
是的切线，点
在直径的延长线上．
（1）特例探究：
若，则
______；
若
，则______；
（2）数学结论：
猜想
与
的大小关系，请说明理由；
（3）拓展应用：
若
，
，求
的长．
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，则______；（2）数学结论：
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与的大小关系，请说明理由；（3）拓展应用：
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，，求的长．
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于点
，点
．
是
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