【推荐1】如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．
   
(1)如图，过点作交于点，求证：；
(2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________．

【推荐2】【阅读材料】

教材习题	如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．
问题分析	由条件易证，从而得到，即点是的中点
方法提取	构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

   
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．
(1)如图1，若，，求证：点是的中点；
(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．

【推荐3】如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），其中点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线上且在x轴上方的任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

【推荐2】数学课上，王老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED=EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论      ；
（2）特例启发，解答题目
王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：       ．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)
（3）拓展结论，设计新题
在△ABC中，AB=BC=AC=1；点E在AB的延长线上，AE=2；点D在CB的延长线上，ED=EC，如图3，请直接写CD的长      ．

【推荐3】如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；
(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有        个，最多有        个；当x＝2时，这样的点P有        个．
(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有3个，写出x满足的条件．

【推荐1】如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．

(1)求，的长度；
(2)若，求的长；
(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．

(1)求；
(2)若线段AC上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

【推荐3】如图，平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，DE＝DC，点F为线段DE上一点，满足∠DFC＝∠A，连结CE．

（1）求证：AD＝FC；
（2）求证：CE是∠BCF的角平分线．

【推荐1】如图1，已知在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标是，动点从点出发，沿线段向终点运动，同时动点从点出发，沿线段向终点运动．点，的运动速度均为1个单位/秒，运动时间为秒．过点作交于点．

（1）求直线的解析式；
（2）在点，的运动过程中，当为直角三角形时，请求出的值；
（3）在动点运动的过程中，在矩形内（包括边界）是否存在一点使以，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，C为∠AOB的边OB上一点，OC=10，N为边OA上异于点O的一动点，P是线段上一点，过点P分别作PQ//OB交OA于点Q，PM//OA交OB于点M．
（1）若OM=6，OQ=2，求ON的长．
（2）若点N在边OA上运动时，始终保持PQ=OQ．
①问：的值是否发生变化？请说明理由．
②设四边形OMPQ的面积为S₁，△OCN的面积为S₂，求的取值范围．

【推荐3】如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，在边上取一点，满足，过点作，交边于点，以、为边做矩形.设点的运动时间为秒.
（1）用含的代数式表示线段的长;
（2）当矩形为正方形时，求的值;
（3）设矩形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式;
（4）作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点.当、这两点中只有一个点在矩形内部时，直接写出此时的取值范围.