【推荐2】如图1，已知直线：分别交，轴于，两点，点在轴负半轴上，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点是线段上一点，若，求点的坐标．

【推荐3】如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线且，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t，求四边形面积S的最大值及此时P点的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，平分，于点，点是的中点．

             

【探究】
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________；
【初步运用】
（3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________；
【灵活运用】
（4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为，，，且，一动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．

（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点P恰好在的角平分线上，求此时t的值；
（3）当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
（4）连结，若为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【推荐3】如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD．求证：

(1)C是DE的中点；
(2)AB＝2CF．

【推荐1】（）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（）初步探究：如图，在四边形中，于点，连接，．
的度数为     ；
求长．
（）拓展运用：如图，在平行四边形中，是边上一点，．按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．过点作交于点，过点作于点，为射线上一动点，连接，若，直接写出的值．

例：如图，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连接． …

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，已知点在y轴正半轴上，点，点在x轴正半轴上，且

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，过点B的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
(3)如图3，当时，点D在的延长线上，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．

【推荐3】已知，矩形，点在上，点在上，点在射线上，点在上．
   
(1)如图，当矩形为正方形时，且，求证：；
(2)在（1）的条件下，将沿向右平移至点与点重合，如图，连接，取的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，点在上，连接，交于，，若，，，求线段的长

【推荐1】“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点P，沿将折叠，得到，点D的对应点为点Q．

(1)问题提出：若点Q落在上，，连接．
①是______ 三角形；
若是等边三角形，则的长为______ ．
(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；
(3)拓展延伸；若，，其他条件不变，当点Q落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线翻折，得到．

   

(1)当平分时，求的长；
(2)连接，当时，求的面积．