角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：
【研究情景】
如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D．
【初步思考】
（1）若AB＝4，BC＝7，则
＝ ；
【深入探究】
（2）请判断
和
之间的数值关系，并证明；
【应用迁移】
（3）如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面积．
请完成下列探索过程：
【研究情景】
如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D．
【初步思考】
（1）若AB＝4，BC＝7，则
＝ ；【深入探究】
（2）请判断
和之间的数值关系，并证明；【应用迁移】
（3）如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面积．
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更新时间：2021-07-26 08:35:45
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，
、
、
均为直线
同侧的等边三角形．
(1)如图①当
时，四边形
为 ；
(2)猜想：当
满足相应的条件：①
，②
其中一个时，顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明． 你选择的是：当满足条件 时，构成的四边形为 ，请写出证明过程．
(3)如图②，
中，
，
，请直接写出四边形面积的最大值
、、均为直线同侧的等边三角形．(1)如图①当
时，四边形为 ；(2)猜想：当
满足相应的条件：①，②其中一个时，顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明． 你选择的是：当满足条件 时，构成的四边形为 ，请写出证明过程．(3)如图②，
中，，，请直接写出四边形面积的最大值
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）如图1．四边形
是正方形，点
是
边上的一个动点，以
为边在的右侧作正方形
，连接
、
，判断线段与的数量是__________；位置关系是__________．
（2）如图2，四边形是矩形，
，
，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且
，连接、．判断线段与又有怎样的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，点是从点
运动到点
，直接写出点
的运动路径长度．
是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，判断线段与的数量是__________；位置关系是__________．（2）如图2，四边形
是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、．判断线段与又有怎样的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，点是从点运动到点，直接写出点的运动路径长度．
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，求AB的长；
AF．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
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(0.4)
【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点，与直线
交于点
．
(1)求
的值；
(2)点是直线
上一动点．
①如图2，当点恰好在
的角平分线上时，求直线
的函数表达式；
②是否存在点，使得
，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于点，与直线交于点． (1)求
的值；(2)点
是直线上一动点．①如图2，当点
恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式；②是否存在点
，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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x+b过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∠OAB的平分线交y轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交x轴于点E，垂足是点D．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，等边
的边长为7cm，现有两动点M，N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边按照图中标识的方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2.5cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动过程中，点M，N能否与中的某一顶点构成等边三角形，若能求出对应的时间t，若不能请说明理由．
(3)当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能，请求出此时MN的边长，若不能请说明理由．
的边长为7cm，现有两动点M，N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边按照图中标识的方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2.5cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动过程中，点M，N能否与
中的某一顶点构成等边三角形，若能求出对应的时间t，若不能请说明理由．(3)当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能，请求出此时MN的边长，若不能请说明理由．
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(0.4)
【推荐2】已知等边△ABC的边长为2，点D为边BC的中点，以点A为圆心的圆交边AC于点E（点E不与点A、C重合），
(1)如果圆A与线段BC有公共点，求线段AE的取值范围；
(2)如果射线DE与线段BA的延长线交于点F，
①设AE=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
②当S△CDE＝S△AEF时，求线段AE的长．
(1)如果圆A与线段BC有公共点，求线段AE的取值范围；
(2)如果射线DE与线段BA的延长线交于点F，
①设AE=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
②当S△CDE＝S△AEF时，求线段AE的长．
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，以
．
，
；
，延长
于点
，求证：点
于点
，点
上运动，以
，当
长最小时，
．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．
(1)我们学过的对美四边形有______、______．（写出两个）
(2)如图1，D为等腰
ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作
，以B为顶点作
交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．
(3)如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，
．
①若
，
，求四边形ABCD的面积．
②若
，设
，
，试求出y与x的关系式．
(1)我们学过的对美四边形有______、______．（写出两个）
(2)如图1，D为等腰
ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作，以B为顶点作交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．(3)如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，
．①若
，，求四边形ABCD的面积．②若
，设，，试求出y与x的关系式．
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(0.4)
【推荐2】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
(2)如图2，垂美四边形
两组对边、
与
、
之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(3)如图3，分别以
的直角边
和斜边为边向外作正方形
和正方形
，连接
、
、
，与交于点O，已知
，
，求
的中线
的长．
(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 ；
(2)如图2，垂美四边形
两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(3)如图3，分别以
的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点O，已知，，求的中线的长．
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