【推荐1】如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点（AOAB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x²3x20的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.

（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与轴，轴分别交于A，B两点，与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且

(1)求直线的解析式；
(2)如图2，连接，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接，，，当时，求周长的最小值；
(3)如图3，将直线向上平移经过点D，平移后的直线记为，若点M为y轴上一动点，点为直线上一点，是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程；若不存在，请说明理由．

【推荐3】定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图 1，四边形中，，则四边形 是“准筝形”．

(1)“三条边相等的准筝形是菱形”是     命题；（填“真”或“假”）
(2)如图1，在准筝形中，，，，求的长；
(3)如图2，在准筝形中，与交于点，点为线段的中点，且，，在线段上存在移动的线段，点在点的左侧，且，当四边形周长最小时，求的长度．

【推荐1】如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．
   

【推荐3】探究
(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，且AB=a，P为⊙A上一动点，连接PB，易得PB的最大值为 ___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示）
(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为___________；
②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AB=7，AP=3，求AD的最大值；
(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，且，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，若AB=6，则BD的最小值为___________．

【推荐2】定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．

(1)请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称_____；
(2)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，交BC于点E，连接DE，若四边形ABDE是圆美四边形，求的值；
(3)如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，连接AE、BD交于点F，若在四边形ABED的内部存在一点P，连接PE交BD于点G，连接PA，PB⊥PE．
①求证：四边形ABED为圆美四边形；
②若α＝60°，PA+PE＝8，＝．求DE的最小值．

【推荐3】如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．

       

(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______．
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，请直接写出线段AF的长．