【推荐1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．

【推荐2】如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．

（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？

【推荐3】已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；(提示∶过N作x轴y轴垂线，垂足分别为D，ECN∶CA=CE∶CO=NE∶OA)
（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？

【推荐1】如图，是的直径，点C为上一点，的外角平分线交于点D，是切线，交的延长线于点E，连接．
   
(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形中，若，则称四边形为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

（1）菱形_____“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）已知的半径为6，四边形是的内接“奇妙四边形”，对角线，相交于点E．
①如图2，若，求“奇妙四边形”的面积；
②连接，若，求的长．

【推荐3】定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线，记此小三角形与原三角形的相似比为k．
（1）【理解】如图1，△ABC中，已知D是AC边上一点，∠CBD＝∠A．求证：BD是△ABC的相似线；
（2）【探究】如图2，△ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2．请用尺规作图法在平面内找一点D、使BC是以A、D为其中两个顶点的三角形的相似线，并直接写出k的值，（提醒：保留作图痕迹，在确认无误后用黑色签字笔将作图痕迹描黑）
（3）【应用】如图3，扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝OB＝2，C，D分别是OA，OB的中点，P是弧AB上的一个动点，求PC+2PD的最小值．