【推荐1】如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接．

(1)若，求的长；
(2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由；
(3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值．

【推荐2】如图1，在正方形ABCD中，边长为2a，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：AF＝BE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DG＝2a；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点．

(1)如图1，点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标为______；
(2)如图2，交轴负半轴于点，连接，交于点．
①求证：；
②求证：点是的中点．

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．
①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是　 　；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为　 　．

（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；
（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．

（1）求证：EF是所在⊙D的切线；
（2）当MA=时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

【推荐1】问题背景】如图1，中，，中，，且，求证：；
       
【变式迁移】如图（2），中，，，点D为内一点，将点A绕点D顺时针旋转得到，连接，求的值；
   
【拓展创新】如图（3），中，，，点D为外一点，，连接CD，求线段之间的数量关系．（用含的式子表示）
   

【推荐2】抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，已知A(﹣1，0)，B(3，0)．
①直接写出抛物线的解析式；
②点H在x轴上，M(1，0)，连接AC、MC、HC，若CM平分∠ACH，求H的坐标；
（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x²+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．
（1）当时，求的长；                                                  
（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，求的长．
   

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在直角坐标系中，的直角顶点在轴上，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：
（1）求点的坐标用含的代数式表示
（2）设的面积为，求与之间的函数表达式；
（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（，0），过点P作轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，），当点P在轴上运动时，试求为何值时，以D，M，Q，F为顶点的四边形是平行四边形？